можно ли установить отцовство без суда?

Да, конечно - по заявлению отца.

Да, в добровольном порядке - подается заявление о признании отцовства в ЗАГСе

Да. можно, если согласен отец ребенка, обращаетесь в Загс с мамой ребенка пишите совместное заявление на установление отцовства, п. 3ст. 48 СК РФ- 3. Отцовство лица, не состоящего в браке с матерью ребенка, устанавливается путем подачи
в орган записи актов гражданского состояния совместного заявления отцом и матерью ребенка

можно, если отец признаёт

Здравствуйте, если отец не возражает, то да.

Можно, но лутше через суд, весомее.

Можно, если отец ребенка согласен. А если отец ребенка не согласен, то только через суд.

п. 2 ст. 48 СК РФ
Если ребенок родился от лиц, состоящих в браке между собой, а также в течение трехсот дней с момента расторжения брака, признания его недействительным или с момента смерти супруга матери ребенка, отцом ребенка признается супруг (бывший супруг) матери, если не доказано иное . Отцовство супруга матери ребенка удостоверяется записью об их браке.
п. 3 ст. 48 СК РФ
Отцовство лица, не состоящего в браке с матерью ребенка, устанавливается путем подачи в орган записи актов гражданского состояния совместного заявления отцом и матерью ребенка; в случае смерти матери, признания ее недееспособной, невозможности установления места нахождения матери или в случае лишения ее родительских прав - по заявлению отца ребенка с согласия органа опеки и попечительства, при отсутствии такого согласия - по решению суда.
ст. 49 СК РФ
В случае рождения ребенка у родителей, не состоящих в браке между собой, и при отсутствии совместного заявления родителей или заявления отца ребенка происхождение ребенка от конкретного лица (отцовство) устанавливается в судебном порядке по заявлению одного из родителей, опекуна (попечителя) ребенка или по заявлению лица, на иждивении которого находится ребенок, а также по заявлению самого ребенка по достижении им совершеннолетия. При этом суд принимает во внимание любые доказательства, с достоверностью подтверждающие происхождение ребенка от конкретного лица.