как проще лишить мать родительских прав при её согласии ,но не по месту прописки

Лишение родительских прав возможно исключительно в судебном порядке и исключительно по месту жительства лица, которое лишается родительских прав, в районном (городском) суде с привлечением органа опеки и попечительства и прокурора.
Статья 70 Семейного кодекса РФ "Порядок лишения родительских прав":
1. Лишение родительских прав производится в судебном порядке.
Дела о лишении родительских прав рассматриваются по заявлению одного из родителей или лиц, их заменяющих, заявлению прокурора, а также по заявлениям органов или организаций, на которые возложены обязанности по охране прав несовершеннолетних детей (органов опеки и попечительства, комиссий по делам несовершеннолетних, организаций для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, и других) .
2. Дела о лишении родительских прав рассматриваются с участием прокурора и органа опеки и попечительства.
3. При рассмотрении дела о лишении родительских прав суд решает вопрос о взыскании алиментов на ребенка с родителей (одного из них) , лишенных родительских прав.
4. Если суд при рассмотрении дела о лишении родительских прав обнаружит в действиях родителей (одного из них) признаки уголовно наказуемого деяния, он обязан уведомить об этом прокурора.
5. Суд обязан в течение трех дней со дня вступления в законную силу решения суда о лишении родительских прав направить выписку из этого решения суда в орган записи актов гражданского состояния по месту государственной регистрации рождения ребенка.

Только по месту жительства (регистрации или как /Вы говорите прописки) матери. Другого не дано.

Можно по месту постояного жительства ребенка.

только поместу жительства матери

Через суд.

да.... тяжелый случай... .
лишение родительских прав производится в судебном порядке, а суд, в котором рассматривается данное дело определяется как раз исходя из места жительства гражданина.
а вот если говорить об отказе от ребенка при его рождении, т. е. еще в роддоме, то в каком роддоме родила, в том и будет писать заявление на отказ!

Ого, она еще соглашается, чтоб ее лешили родительских прав, вот это я первый раз слышу!!