Зарплата.

См. ответ елена ледовских.
Кроме того, по нормативно-правовому законодательству РФ, работать можно и не по трудовой, (не по найму) а и по гражданско-правовому договору (например, по подряду) . Несовершеннолетний - это уже не малолетний, и заключать многие гражданско-правовые договоры имеет право. Иногда, конечно, надо согласие родителей.

А налог с дохода взимается с любого вознаграждения за труд. Его (вознаграждения) размер значения не имеет. Работодатель ( он же налоговый агент, потому что источник выплаты дохода) обязан в момент выдачи дохода удержать с этого дохода и перечислить в бюджет налог на доходы физических лиц ( по ставке 13%).

Трудовой кодекс предусматриваем множество льгот для несовершеннолетних, работающих по найму. Именно приём на работу, как вы пишете "по трудовой" - это и есть работа по найму, и регулируются отношения сторон (работодатель и работник) Трудовым кодексом РФ.

Работа по подряду Трудовым кодексом не регулируется. Это уже Гражданский кодекс РФ. И льготы, предусмотренные Трудовым кодексом на подрядчика не распространяются. В договоре подряда нет ни работодателя, ни работника, есть : заказчик и исполнитель. Нет найма, поэтому нет и никакого приёма на работу.
Выясняйте, какие у вас отношения с тем, кто вам платит вознаграждение за труд, хотя, в принципе, на ваших налогах это никак не отразится.

Взимание налогов регулируется Налоговым кодексом РФ. Он уж тем более никаких льгот работающим несовершеннолетним налогоплательщикам не предусматривает. Всё на общих основаниях.

Это хорошо, что с вас НДФЛ удерживают. Иначе вы сами обязаны были бы его внести в бюджет.

Откуда несовершеннолетний знает, что у него нет трудовой? Если он ранее не работал, то ему заводят новую трудовую книжку, но не выдают ее на руки, она хранится на предприятии до момента увольнения. То, что первичный медосмотр не проходил, это конечно плохо, но к удержанию подоходного налога никакого отношения не имеет. Так что "снимать" не только могут, но и должны!

Раз нет трудовой - он официально не устроен.
Снимают вероятно для себя (руководство например) , либо бухам так проще вести бухгалтерию. потом сумма всплывет, но пока все по прежнему.
Жаловаться ему опять же некому - он официально не устроен, судебное разбирательство ни к чему не приведет

А с чего вы решили что не могут? Где это написано? Подоходный налог для всех един и для несовершеннолетних с зарплатой 13000 нет в этом случае исключений. Если с ним не заключен трудовой договор это повод для обращения в инспекцию труда. Хотя если зарплату платят и иным образом не ущемляют смысла туда обращаться не вижу.