Может ли лицо, достигшее 16 лет, зарегистрироваться как частный предприниматель?

Да, конечно можно, только необходимо предоставить в налоговую документы об эмансипации:
1. Заявление
2. Разрешение от обоих родителей, ксерокопии их паспортов (вместе со страницей о детях) .
3. Паспорт и его ксерокопия.
4. Справка по месту жительства о проживающих совместно родственниках.

Статья 26 ГК РФ. Дееспособность несовершеннолетних в возрасте от четырнадцати до восемнадцати лет
2. Несовершеннолетние в возрасте от четырнадцати до восемнадцати лет вправе самостоятельно, без согласия родителей, усыновителей и попечителя:
1) распоряжаться своими заработком, стипендией и иными доходами;
2) осуществлять права автора произведения науки, литературы или искусства, изобретения или иного охраняемого законом результата своей интеллектуальной деятельности;
3) в соответствии с законом вносить вклады в кредитные учреждения и распоряжаться ими;
4) совершать мелкие бытовые сделки и иные сделки, предусмотренные пунктом 2 статьи 28 настоящего Кодекса.
По достижении шестнадцати лет несовершеннолетние также вправе быть членами кооперативов в соответствии с законами о кооперативах.
3. Несовершеннолетние в возрасте от четырнадцати до восемнадцати лет самостоятельно несут имущественную ответственность по сделкам, совершенным ими в соответствии с пунктами 1 и 2 настоящей статьи. За причиненный ими вред такие несовершеннолетние несут ответственность в соответствии с настоящим Кодексом.
Статья 27. Эмансипация
1. Несовершеннолетний, достигший шестнадцати лет, может быть объявлен полностью дееспособным, если он работает по трудовому договору, в том числе по контракту, или с согласия родителей, усыновителей или попечителя занимается предпринимательской деятельностью.
Объявление несовершеннолетнего полностью дееспособным (эмансипация) производится по решению органа опеки и попечительства - с согласия обоих родителей, усыновителей или попечителя либо при отсутствии такого согласия - по решению суда.

Если при соблюдении указанных условий несовершеннолетний занимается предпринимательской деятельностью, то он не только может, но и обязан зарегистрироваться как ИП в ИФНС (часть 1 НК РФ)

Вполне с соблюдением требований п. 1 ст. 27 Гражданского кодекса РФ "Эмансипация".

зачем регистрироватся? :)))

Нет

может и после 16, и до 16

к сожалению, нет. Почему можете почитать здесь
ФЗ "О государственной регистрации юридических лиц и индивидуальных предпринимателей