Хотим на даче сделать лужайку-газон. Ездим раз в неделю. Стоит ли начинать? не посохнут всходы травы за это время?

сейчас не посохнут, сейчас - просто ничего не взойдет!! ! Надо делать ближе к осени, когда хоть дожди пойдут... .
А вообще на будущее:
1) в жару газоны если и стригут, то потом несколько дней поливают.. . типа: в пятницу приехали- суббота утро стрижка - целый день полив - воскресенье целый день полив.. .
2) надо будет купить "распылилку" - дождеватель для автоматического полива (в то время, когда вы на даче чтоб сам поливал)
3) надо будет удобрением подкармливать.. .
И БУДЕТ ШИКАРНЫЙ ИЗУМРУДНЫЙ ГАЗОН!!!

ну если у вас нет адской жары может и не посохнет, хотя там свои методы ухода и полива надо узнавать при покупке

Не стоит. В первые 2 недели после посева надо поливать ежедневно, если нет дождей. Если не поливать, то семена не прорастут и будут ждать дождя, но их может выдуть ветром, могут разгрести и выклевать птицы - ровный газон не получится. А если полить 1-2 раза и оставить даже на день без полива, то всходы посохнут. Они очень уязвимые, пока не начали куститься: корешки еще не углубились в почву, и если верхний слой почвы высохнет, они высохнут тоже. Поэтому газон сеют обычно весной или осенью, когда почва влажная и дожди идут часто.

Надо конечно же первое время поливать постоянно, но у меня сейчас даже уже выросший газон погорел без постоянного полива.

в Вашем случае лучше смонтировать какую нить систему автоматического полива (орошения) т. к. вас по долгу может не быть на участке.
1. Автоматические покупные или сделанные самостоятельно
2. Механические как правило делают самостоятельно.
3. Для кустов или парников (точечные/капельные) покупняе, самоделки.
----
покупные стоят дорого, в зависимости от зоны предполагаемого покрытия.
капельные не такое дорогие, например можно посмотреть "АкваДуся" или "росинка", если не ошибаюсь вообще около 2,5т. р стоит.

если Вы не претендуете на настоящий английский газон. могу предложить посеять белый клевер. он очень агрессивен, быстро вытесняет все сорняки (его считают злостным врагом классического газона), неприхотлив, мирится с засухой и смотрится вполне симпатично.