Будут ли посаженные дома цветы расти и зацветать раньше, чем в саду?

Выращивать незабудку дома не получится... это чисто уличное растение. А вот сделать выгонку дома весной, то есть принудительно заставить цвести в неурочное для растения время, вполне реально. Но потребуются определенные усилия.
Обычно выращивают незабудку альпийскую. Это двулетнее растение... в первый год будет только розетка, на второй год цветение. Поэтому сеять ее надо только на улице летом... в уличных условиях она сможет нарастить хорошую, мощную розетку для дальнейшей выгонки дома. Осенью такие розетки выкопать и поместить в холодное, но не промерзающее помещение (подвал и др.). Периодически следить за состоянием растений. В конце зимы-начале весны горшки с незабудками достать из холода в теплое и светлое помещение. И начнется выгонка.
Без периода охлаждения ничего не получится... такова природа этого растения.
После цветения растение придется выкинуть... оно полностью пройдет цикл развития и больше расти и цвести не будет.
Вот так придется повозиться.
Есть и отрицательные моменты во время цветения - обязательный ежедневный полив, яркое освещение (не прямое солнце), уборка мусора от постоянно осыпающихся отцветших цветов.... эта информация с форумов.

незабудки разные. В мае -июне обычно цветут те, которые в прошлом году посажены.

Сходите в цветочный магазин или на форумах домашнего цветоводства посмотрите и купите себе именно домашний цветок, например сенполию- она долго цветёт. Или орхидею-тоже очень долго цветёт. Или посмотрите для зимнего цветения амариллисы или гиппеаструмы. Да столько домашний цветов- зайдите в рубрику Комнатные растения и сами посмотрите какое их разнообразие. А садовые цветы пусть растут в садах- они не приспособлены для дома.

Просто подоконник украсить заведите сенполию ( фиалку)

Еслт только петунию, незабудки вряд ли. Они у меня в саду не хотят всходить...