Решите задачу на параллельность плоскостей 10 класс

Методом от противного.

Метод от противного.
Предположим, что a и b не параллельны. Есть всего 2 варианта, когда это не так:

ВАРИАНТ 1. Предположим, что a и b пересекаются (назовем точку пересечения М). Раз a - прямая пересечения плоскостей альфа и бета, то каждая ее точка принадлежит как пл. альфа, так и пл. бета, в том числе и М. Также точка М лежит на прямой b. Получается, что точка M лежит как на прямой b, так и на плоскости альфа (следствие 1). Но по условию b||альфа, а значит они не имеют общих точек. По методу от противного получаем, что a и b не пересекаются.

ВАРИАНТ 2. Предположим, что a и b скрещиваются. Так как b||альфа, то на пл. альфа существует прямая (назовем ее f), параллельная b. f и a могут взаиморасполагаться лишь двумя способами:
Случай 1) предположим, что a||f.
Теорема 1. Если в пространстве a||b, b||c, то a||c (a,b,c - некоторые прямые)
b||f, f||a, по Теореме 1 b||a. Однако в нашем ВАРИАНТЕ 2 предполагается, что a и b скрещиваются, то есть не параллельны. Значит, Случай 1 невозможен.
Случай 2) предположим, что a пересекается с f
Назовем точку пересечения K. По следствию 1 из ВАРИАНТА 1 эта точка лежит на пл. бета.
Теорема 2. Есть точка A на пл. альфа и прямая f, параллельная пл. альфа. Тогда через точку А на пл. альфа можно провести прямую, параллельную f, и при том только одну.
На пл. бета через точку K проведем прямую, параллельную пр. b (это возможно по Теореме 2). Назовем эту прямую g.
f||b, b||g, по Теореме 1 f||g. Но f и g имеют общую точку - точку K, а значит не параллельны. Тогда по методу от противного Случай 2 невозможен.
По тому же методу от противного ВАРИАНТ 2 невозможен.

Мы предположили, что a и b не параллельны, рассмотрели все возможные случаи, когда это так, и получили, что ни один из них не может существовать. Тогда по методу от противного a||b, что и требовалось доказать.

п. с. я не рассматривал случаи с совпадающими прямыми и совпадающими плоскостями, так как это было бы слишком долго. Поверьте уж наслово, что даже если бы какие-нибудь прямые совпадали, все равно было бы a||b.