Домашние задания: Геометрия

Помогите пожалуйста с заданиями

1. В трапеции ???????????????? с основаниями ????????=3 см и ????????=5 см отмечены точки ????,???? – середины сторон ???????? и ???????? соответственно. Выразите вектор ????????⃗ через вектор: а) ????????⃗; б) ????????⃗.

2. В параллелограмма ???????????????? точки ???? и ???? – середины стороны ???????? и ????????. Выразите через векторы ????????⃗ и ????????⃗ векторы: а) ????????⃗; б) ????????⃗; в) ????????⃗; г) ????????⃗.

3. Векторы ????⃗ и ????⃗ неколлинеарны. Найдите числа ???? и ????, удовлетворяющие равенству:
а) 2????⃗+????????⃗=????????⃗−????⃗; б) 5????⃗+3????⃗−????????⃗+????????⃗=0⃗; в) ????????⃗+4????⃗−????????⃗=0⃗.

4. Докажите, что если векторы ????⃗ и ????⃗ неколлинеарны, то векторы ????⃗+????⃗ и ????⃗−????⃗ тоже неколлинеарны.
Александр Блоха
Александр Блоха
105
4. Докажите, что если векторы a и b неколлинеарны, то векторы a+b и a-b тоже неколлинеарны.

Предположим, что вектор a нулевой. Тогда он коллинеарен любому вектору, в том числе и вектору b. Но по условию a и b неколлинеарны. По методу от обратного a - ненулевой вектор. Аналогично вектор b ненулевой.

Рассмотрим случай, когда векторы a и b находятся в 3х-мерном пространстве. Введем декартову систему координат и обозначим координаты векторов в ней следующим образом: a=(xa,ya,za), b=(xb,yb,zb).

Два ненулевых вектора v1 и v2 коллинеарны только тогда, когда существует некоторое действительно число q такое, что v1*q=v2.
Рассмотрим 2 вектора:
v1 = a+b = (xa+xb, ya+yb, za+zb),
v2 = a-b = (xa-xb, ya-yb, za-zb).

Метод от обратного.
[НАЧАЛО МЕТОДА]
Предположим, что v1 и v2 коллинеарны. Тогда должно существовать число q такое, что v1*q = v2.
(xa+xb, ya+yb, za+zb)*q = (xa-xb, ya-yb, za-zb);
(qxa+qxb, qya+qyb, qza+qzb) = (xa-xb, ya-yb, za-zb);
qxa+qxb = xa-xb, qxa-xa+qxb+xb=0, xa(q-1)+xb(q+1)=0, xa(q-1)=-xb(q+1).
Хорошо бы поделить обе части на q+1, но вдруг q+1= 0, а на 0 делить нельзя. Тогда рассмотрим отдельно этот случай. Если q+1=0, то q=-1. Подставим q=-1 в qxa+qxb = xa-xb. Получаем -xa-xb=xa-xb, -xa=xa, xa=0. Проделав аналогичные преобразования с другими равенствами получаем, что ya=0 и za=0, то есть a - нулевой вектор. Но в самом начале было доказано, что а - ненулевой вектор. По методу от обратного q не равно -1. На q+1 можно делить.
xa(q-1)=-xb(q+1), xa(q-1)/(q+1)=-xb, xa(1-q)/(q+1)=xb.
Аналогичные преобразования проделаем и с другими равенствами. В результате получим:
xa(1-q)/(q+1)=xb
ya(1-q)/(q+1)=yb
za(1-q)/(q+1)=zb
Теперь рассмотрим векторы a и b. По тому, что написано выше, выясняется, что существует некоторое действительное число, в данном случае (1-q)/(q+1), такое, что a*(1-q)/(q+1)=b (p.s. a*(1-q)/(q+1)=b это есть то же самое, что и xa(1-q)/(q+1)=xb, ya(1-q)/(q+1)=yb, za(1-q)/(q+1)=zb). Получается, что a и b коллинеарны. Но по условию известно, что a и b не коллинеарны. По методу от обратного v1 и v2 (то есть a+b и a-b) не коллинеарны, что и требовалось доказать.
[КОНЕЦ МЕТОДА]

Если векторы находятся на плоскости - доказательство аналогично. Просто у векторов не будет координат za и zb.
Дмитрий Демьяненко
Дмитрий Демьяненко
69 560
Лучший ответ
Дмитрий Демьяненко Сегодня у меня хорошее настроение, поэтому принимайте:)

Похожие вопросы