Домашние задания: Геометрия

Помогите пожалуйста решить задание по геометрии

Дан треугольник ABC. Точка M на стороны AB треугольника ABC выбрана

так, что CM – медиана. На отрезке AM выбрана точка P, на отрезке CM –

точка Q , на отрезке CP – точка R . При этом PQ || AC, MR || BC. Известно,

что PM:QB = 1:2. Докажите, что ∠QBR = ∠ABR.
Антон Тихонов
Антон Тихонов
103
Очень прикольная задача, главным шагом в решении которой, как мне кажется, является понимание того, что точки A, R и Q лежат на одной прямой.

Поскольку M — середина AB, то очевидно
(MA / MP) * (MP / BM) = 1
Если это равенство умножить на AP / AP = 1 и перегруппировать слагаемые, получим
(AP / MP) * (MA / AP) * (MP / BM) = 1

По теореме Фалеса для прямых MR и BC и угла BPC имеем
MP / BM = PR / RC
Аналогично имеем
AP / MP = CQ / QM

Учитывая это, длинное равенство можно переписать в виде
(CQ / QM) * (MA / AP) * (PR / RC) = 1
Но тогда по теореме, обратной к теореме Менелая для треугольника MCP и секущей AQ, получаем, что точки A, R и Q лежат на одной прямой.

Теперь, зная это, распишем теорему Менелая для треугольника MAQ и секущей PC
(AP / PM) * (MC / CQ) * (QR / AR) = 1
QR / AR = (PM / AP) * (CQ / MC)

Из условия PM = BQ / 2. Учтём это, а также умножим дробь в правой части на 2 AM / AB = 1 и перегруппируем множители
QR / AR = 2 * 1/2 * (BQ / AB) * (CQ / MC) * (AM / AP)
Но из подобия треугольников AMC и PMQ следует, что (CQ / MC) * (AM / AP) = 1, поэтому имеем
QR / AR = BQ / AB
По теореме, обратной к теореме о биссектрисе, это означает, что BR — биссектриса угла ABQ, что и требовалось доказать.
BD
Big Dili .
3 649
Лучший ответ

Похожие вопросы