Лемниската Бернулли и инверсия

Возьмем рандомную окружность радиуса r с центром в точке О. Введем декартову систему координат с центром в точке О (0;0). Гипербола с центром в О (0;0) в этой системе координат будет иметь уравнение x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.
Инверсия относительно окружности с центром в точке О (0;0) и радиусом r задаётся следующим соотношением (которое добросовестно скопировано из википедии)
x->(r^2x)/(x^2+y^2), y->(r^2y)/(x^2+y^2)
Надо подставить это в уравнение гиперболы:
((r^2x)/(x^2+y^2))^2/a^2 - ((r^2y)/(x^2+y^2))^2/b^2 = 1
Далее раскрыть все что только можно (вольфрам мне в помощь)
(r^4 x^2)/(a^2 (x^2 + y^2)^2) - (r^4 y^2)/(b^2 (x^2 + y^2)^2) = 1
...
(r^4 (b^2 x^2 - a^2 y^2))/(a^2 b^2 (x^2 + y^2)^2) = 1
(r^4 (b^2 x^2 - a^2 y^2))=(a^2 b^2 (x^2 + y^2)^2)
...
(r^4/(a^2b^2)) (b^2 x^2 - a^2 y^2) = (x^2 + y^2)^2
Уравнение лемнискаты очень похоже: (x^2 + y^2)^2 = 2c^2 (x^2-y^2) [совпадает все, кроме b^2 x^2 - a^2 y^2, должно было бы быть x^2 - y^2]. Мне кажется, что уравнение, которое я получил, все-таки является уравнением лемнискаты, но какой-то видоизмененной. Иначе я не знаю, что это.

Ща застрелюсь ...)))

На первый взгляд это может быть верно ТОЛЬКО для гиперболы с перпендикулярными асимптотами - ибо у лемнискаты в центре пересечение под прямым углом.
-----
Уравнение лемнискаты r^2 = А cos 2phi, стало быть прсле инверсии r^2 = B / cos 2phi = B / (cos^2 phi - sin^2 phi) = B r^2 / (y^2 - x^2), отсюда y^2-x^2 = B. - каноническое уравнение гиаерболы с перпенд. асимпт.