Геометрия 8 класс

1) Если две хорды AB и CD пересекаются в точке E, то произведение отрезков, что образовались при пересечении, одной хорды равны произведению отрезков другой хорды:
AE ∙ BE = DE ∙ CE
ED = (AE*BE)/CE = 3

2) Аналогично:
MC * CN = AC * CB; (первое уравнение)
MO = ON (они есть радиусы)
MO + ON = NC + CM
(CN + MC)/2 + 1 = CN, отсюда: MC = CN - 2

Подставляем в первое уравнение:
(CN-2) * CN = AC * CB;
CN^2 - 2CN = 15*8;
CN^2 - 2CN - 120 = 0; (квадратное урав.)

D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-120) = 484
x1 = (-(-2) + √484)/2 = 12
x2 = (-(-2) - √484)/2 = -10 (не подходит по усл. задачи)
Получается CN = 12, тогда MC = 12-2 = 10
Тогда MN = 10+12=22 (можете перепроверить по рисунку)

3)
AO = BO = 5 (радиусы)
AE = AO + OE = 5 +3 = 8;
BE = BO - OE = 5-3=2
Если две хорды AB и MN пересекаются в точке E, то произведение отрезков, что образовались при пересечении, одной хорды равны произведению отрезков другой хорды:
AE∙ BE = ME ∙ NE;

Если радиус окружности (BO) перпендикулярен к хорде (MN), то он разделяет хорду пополам в точке их пересечения, тоесть ME = NE. Тогда исходя из предыдущего уравнения: AE*BE = ME^2

Тогда: ME = √(AE*BE)= 4


И тогда: MN = ME * 2 = 8