Геометрия 8 класс олимпиада

Дан треугольник PQR, у которого ∠PQR - ∠PRQ = 18°.
Высота треугольника PH и биссектриса PF.
Найти ∠HPF.

Решение:

Так как PF - биссектриса ∠RPQ, то:
∠RPF = ∠FPQ = x
∠PHQ = ∠PHR = 90°
∠HPQ = y = 90° - ∠PQR
∠PQR = 90° - y
∠HPF = α = x - y
x = y + α
x + y = 90° - ∠PRQ
∠PRQ = 90° - (x + y) = 90° - (y + α + y) = 90° - 2y - α

По условию:
∠PQR - ∠PRQ = 18°
90° - y - (90° - 2y - α) = 18°
90° - y - 90° + 2y + α = 18°
y + α = 18°
Но y + α = x = 18°
∠RPQ = 2x = 2*18° = 36°

По теореме об углах треугольника:
∠RPQ + ∠PRQ + ∠PQR = 180°

Получаем систему:
{ ∠PQR + ∠PRQ = 180° - ∠RPQ = 180° - 36° = 144°
{ ∠PQR - ∠PRQ = 18°

Решая эту систему, получаем:
2*∠PQR = 144° + 18° = 162°
∠PQR = 162° : 2 = 81°
∠PRQ = 144° - ∠PQR = 144° - 81° = 63°

Из треугольника PHR:
∠RPH  = x + α = 90° - ∠PRQ = 90° - 63° = 27°
∠HPF = α = ∠RPH - x = 27° - 18° = 9°

З.Ы. Рисунок сделала ?

Сделай рисунок. Искомый угол обозначим X =>
(180* - ∠Q - ∠P)/2 - X + ∠Q = 90* => ∠Q - ∠P = 2X => X = 9*. Ответ: 9*.