Помощь с Геометрией

D - точка касания (т. к. радиус в точке касания перпендикулярен касательной, но из т. С можно опустить лишь один перпендикуляр на BD). Значит, СD = х - искомый радиус => так как BD^2 = x(20 - x) => x^2 - 20x + 64 = 0 => x = 16 или х = 4. Ответ: 16 или 4.
Ответ Ивана Зотина - это безумие!

Раз ставишь "лайки" за неверные ответы, значит верные ответы не нужны.

Для решения этой задачи нам понадобятся свойства прямоугольного треугольника и окружности, касающейся одной из сторон треугольника.

Из условия задачи известны следующие длины:

BD = 8 - длина высоты, проведенной к гипотенузе треугольника ABC.

AC = 20 - длина катета, прилегающего к углу C.

Нам необходимо найти радиус окружности с центром в точке C, касающейся прямой BD.

Рассмотрим два случая:

Касание окружности происходит в точке D.
В этом случае радиус окружности будет равен радиусу вписанной в треугольник окружности, так как окружность, касающаяся стороны треугольника в ее середине, является вписанной. Таким образом, нам нужно найти полупериметр треугольника ABC и площадь этого треугольника:

p = (AB + BC + AC)/2 = (8 + x + 20)/2 = (28 + x)/2,

где x - длина катета, противоположного углу B.

S = (1/2)ABBC = (1/2)8x = 4x.

По формуле радиуса вписанной окружности:

r = S/p = (4x)/[(28 + x)/2] = 8x/(28 + x).

Теперь мы можем выразить длину катета x через BD и AC:

x = √(AC^2 - BD^2) = √(20^2 - 8^2) = 16√3.

Подставляя это значение в формулу для радиуса, получим:

r = 8*16√3/(28 + 16√3) ≈ 5.27.

Касание окружности происходит в точке E на стороне AB.
В этом случае радиус окружности будет равен половине высоты треугольника, опущенной на сторону AB из точки C. Найдем эту высоту, используя теорему Пифагора:

AE^2 = AC^2 - CE^2 = 20^2 - (8 - CE)^2,

где CE - длина отрезка, проведенного из точки C перпендикулярно стороне AB.

AB^2 = AE^2 + BE^2 = AE^2 + BD^2.

Выражаем BD^2 через AE^2:

BD^2 = AB^2 - AE^2 = (8 + x)^2 - 20^2 + (8 - CE)^2 = x^2 + 16CE

CD - радиусом будет. Точка D - часть прямой BD, а значит окружность будет касаться прямой по идее. Всё сводится к нахождению DC (малый радиус), если треугольник имеется вершины, которые названы в такой последовательности:
Либо к нахождению DC, если вершины имеют такую последовательность (больший радиус):