Геометрия 7 класс.

MC = 7

Углы треугольника соотносятся как A:B:C = 1:2:3 , а сумма углов треугольника = 180° ,
Соответственно :
А = 30°
В = 60°
С = 90°
Рассмотрим прямоугольный треугольник МВС , в котором С = 90° ,
Так как ВМ - биссектриса , делит угол В пополам :
МВС = В / 2 = 60 /2 = 30°
Гипотенуза МВ = 14
sin MBC = MC / MB
sin 30° = MC / 14
1/2 = MC / 14
Соответственно, МС - катет , противолежащий углу МВС = 30° :
МС = МВ / 2 = 14 / 2 = 7

Пусть углы треугольника ABC равны α, β и γ, соответственно. Тогда, согласно условию, α:β:γ = 1:2:3.

По теореме о биссектрисе в треугольнике ABC:

BM/AB = MC/AC

Так как AB и AC являются сторонами треугольника ABC, а их отношение известно, можно записать:

AB = 2BM
AC = 3BM

Подставляя в уравнение для биссектрисы, получаем:

BM/2BM = MC/3BM

1/2 = MC/3BM

MC = 3BM/2

Теперь нам нужно найти длину BM. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABC:

cos(α) = (b² + c² - a²)/(2bc)

Здесь a, b и c - стороны треугольника, соответствующие углам α, β и γ, а cos(α) = cos(BMC), так как BM является биссектрисой угла ABC.

Так как у нас известно, что β = 2α и γ = 3α, то a = BC, b = AC и c = AB. Поэтому мы можем записать:

cos(BMC) = cos(α) = (AC² + BM² - BC²)/(2AC * BM)

Подставляя значения AC = 3BM, AB = 2BM и cos(α) = cos(BMC), получаем:

cos(BMC) = (9BM² + BM² - 4BM²)/(2 * 3BM * BM)

cos(BMC) = 2/3

Так как мы знаем значение cos(BMC), мы можем найти значение sin(BMC):

sin²(BMC) = 1 - cos²(BMC)

sin(BMC) = √(1 - cos²(BMC)) = √(1 - 4/9) = √(5/9)

Теперь мы можем найти длину BM, используя формулу:

BM/√(5/9) = 14

BM = 14√(5/9)

Наконец, мы можем найти длину MC, используя уравнение MC = 3BM/2:

MC = 3BM/2 = 3(14√(5/9))/2 = 21√(5/3)

Таким образом, длина отрезка MC равна 21√(5/3).