Найти площадь четырёхугольника AMNC.

Площадь четырёхугольника AMNC = 126

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, подобный данному с коэффициентом k = 1/2
треугольник BNМ ∼ BCА
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия :
S (BNМ) / S (BCА) = k^2 = (1/2)^2 = 1/4
Соответственно :
S (BCА) = S (BNМ) * 4 = 42*4 = 168
площадь четырёхугольника AMNC - находим как разность площадей треугольников :
S (AMNC) = S (BCА) - S (BNМ) = 168 - 42 = 126

MN || AC. Отсюда следует равенство углов BMN и BAC, BNM и BCA как соответственных.
Теперь можно доказать подобие треугольников MBN и ABC по двум углам.

Так как MN — средняя линия, она вдвое меньше основания AC:

AC = 2MN

А из подобия треугольников MBN и ABC следует, что и остальные стороны в MBN вдвое меньше. То же справедливо и для высоты в MBN: она вдвое меньше высоты в ABC.

Если в MBN высота BP, а в ABC высота BH, то BH = 2MP.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту:

S(MBN) = 1/2 MN • BP = 42

S(ABC) = 1/2 AC • BH = 1/2 • 2MN • 2BP = 4 • (1/2 MN • BP) = 4 • 42 = …

Площадь четырехугольника AMNC равна площади ABC за вычетом площади MBN.

S(AMNC) = S(ABC) − S(MBN) = …