Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна 5 см, а угол между диагоналями равен 30°

ABCD - прямоугольник, AB = 5; < AOB = 30 град. =>
< BAO = (180 - < AOB)/2 = (180 - 30)/2 = 75 град.
tg BAO = tg BAC = tg 75 = BC / AB = 3,7
BC = 3,7 * AB = 3,7 * 5 = 18,5
S (ABCD) = AB * BC = 5 * 18,5 = 92,5

Для нахождения площади прямоугольника, если одна из его сторон равна 5 см, а угол между диагоналями равен 30°, можно воспользоваться формулой, которая выражает площадь прямоугольника через длины его диагоналей и угол между ними:.

Пусть прямоугольник имеет стороны a и b, и угол между его диагоналями равен 30 градусов. Тогда мы можем использовать тригонометрические функции, чтобы выразить a и b и затем найти площадь.

Рассмотрим треугольник, образованный половиной диагоналей и одной из сторон прямоугольника. Этот треугольник является равнобедренным, поскольку мы знаем, что угол между диагоналями равен 30 градусов. Значит, угол между половинками диагоналей равен 75 градусов (так как сумма углов треугольника равна 180°).

Мы можем найти длины сторон этого треугольника, зная, что одна сторона прямоугольника равна 5 см. Пусть с - это длина половины диагонали, а x - это длина высоты, опущенной на эту диагональ. Тогда:

sin 75° = x / c
cos 75° = x / (a / 2)
c^2 = (a/2)^2 + x^2

Выражая x из второго уравнения, подставляя его в первое и использования тождества sin 75° = cos 15°, мы можем вычислить c:

c / (a / 2) = tan 15°
c = a / (2 tan 15°)

Затем, подставляя найденное значение c в третье уравнение, мы можем найти значение a:

(a/2)^2 + x^2 = c^2
a^2 / 4 + (a/2)^2 * tan^2 15° = a^2 / (4 tan^2 15°)
a^2 (1 + 2 tan^2 15°) / 4 = (5 / (2 tan 15°))^2
a^2 = 20 * tan^2 15° / (1 + 2 tan^2 15°)

Теперь мы знаем длину обеих сторон прямоугольника:

a = 2 * sqrt(5) / sqrt(3)
b = 10 / sqrt(3)

И, наконец, можем найти его площадь:

S = a * b = 20 / 3 ≈ 6.67 см²