Диагональ прямоугольника ABCD = 16 см и составляет с AC угол в 30 градусов Найти площадь ABCD

Ав=сд=16:2=8; ад²=16²-8²=192; ад=✓192=8✓3; $=8*8✓3=64✓3

64

Рассмотрим прямоугольник ABCD, где AB = CD = a, BC = AD = b. Пусть точка E - середина диагонали AC, и F - точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда AF = FC = b/2, EF = EC = a/2 и угол AEF равен 30 градусам.

Согласно теореме косинусов в треугольнике AEF, мы можем выразить длину стороны a через длину диагонали AC:

AE² + EF² - 2 * AE * EF * cos(30°) = AC²

(a/2)² + (b/4)² - (a/2) * (b/4) * √3 = 16²

a²/4 + b²/16 - ab√3/8 = 256

Учитывая, что площадь прямоугольника ABCD равна произведению его сторон, получим:

S = ab

Используя формулу для a, которую мы только что вывели, мы можем выразить a через b и подставить это выражение в формулу для S:

S = ab = b * (4(256 - b²/4 - b²/16)/3√3)

S = (4b/3√3) * (256 - 5b²/4)

Затем найдем максимум этой функции, взяв производную по b и приравняв ее к нулю:

dS/db = (4/3√3) * (256 - 5b²/4) - (10b/3√3) = 0

256√3 - 5b²√3 - 10b = 0

5b² + 10b - 256 = 0

Решив квадратное уравнение, мы найдем b ≈ 9.9 см.

Затем, подставляя b обратно в уравнение для a, мы найдем a ≈ 14.4 см.

И, наконец, площадь прямоугольника ABCD равна:

S = ab ≈ 141.12 см².

Таким образом, площадь прямоугольника ABCD равна примерно 141.12 квадратных сантиметров.