Прямоугольник с диагональю, равной 2 3 см, вращается вокруг одной из сторон.

кратко!

h=х - высота (одна из сторон)

R^2 = 12 - x^2, 0 < x < 2v3,( по т. Пиф., квадрат 2-ой стороны)

V =piR^2 * h_____Vцилиндра

V(x) =Pi( 12x - x^3),

V' = Pi (12 - 3x^2)

V'= 0, x = 2

0_+__2__-___2v3-----V'

Vнаиб = V( 2) = 16Pi ________( h = 2 ; R = 2v2)

Есть ответ?

Так как диагональ прямоугольника равна 2 3 см, то можно записать уравнение:

$$(a^2 + b^2)^\frac{1}{2} = 2\sqrt{2}$$

где $a$ и $b$ - стороны прямоугольника.

Для нахождения максимального объема тела вращения необходимо найти сторону прямоугольника, вокруг которой нужно вращать фигуру. Для этого можно воспользоваться методом дифференцирования и найти максимум объема по формуле:

$$V = S \cdot h = ab \cdot h = ab \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2b}{2}$$

где $S$ - площадь основания, $h$ - высота цилиндра.

Берем производную по $a$:

$$\frac{dV}{da} = ab = b\sqrt{4a^2-8a^2} = 0$$

Решаем уравнение:

$$a^2 = 2b^2$$

Подставляем $a^2 = 2b^2$ в первое уравнение:

$$b^2 = \frac{8}{5}$$

$$a^2 = \frac{16}{5}$$

Таким образом, стороны прямоугольника равны $a = \sqrt{\frac{16}{5}}$ см и $b = \sqrt{\frac{8}{5}}$ см. Высота цилиндра равна $h = \sqrt{\frac{16}{5}}$ см.

Тогда объем тела вращения будет равен:

$$V = \frac{a^2b}{2}h = \frac{\frac{16}{5} \cdot \sqrt{\frac{8}{5}}}{2} \cdot \sqrt{\frac{16}{5}} = \frac{128}{125} \pi \approx 1,02 \text{ см}^3$$

Таким образом, максимальный объем тела вращения будет равен примерно 1,02 кубических сантиметров