Возник вопрос по решению задачи - точнее непонятен последний шаг почему AK^2 / 3 = BC^2 / 4

AK·KL = BK·KC (*)

Медиана AK делится точкой пересечения медиан в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому KL = MK = AK / 3.

Отрезки BK и KC равны половине BC.

Подставляя всё это в (*), получаем
AK·AK/3 = BC/2·BC/2
AK² / 3 = BC² / 4

При решении задачи использована теорема о медиане треугольника, которая гласит: медиана треугольника делит сторону, к которой она проведена, пополам, и образует с этой стороной отношение 2:1.

В данной задаче рассматривается медиана AM, проведенная к стороне BC треугольника ABC. По теореме о медиане, медиана AM делит сторону BC пополам, поэтому BM = MC = BC/2 = (4√3)/2 = 2√3.

Теперь рассмотрим треугольник BMC. Угол BMC равен 133°, а значит угол BAC = 180° - 133° = 47° (сумма углов треугольника равна 180°).

Используя известные значения, можно применить тригонометрическую формулу синуса в треугольнике BMC:

sin(BAC) / sin(BMC) = BC / BM

Заменяя значения, получаем:

1. sin(47°) / sin(133°) = (4√3) / (2√3)
2. sin(47°) / sin(133°) = 2 / 2
3. sin(47°) / sin(133°) = 1

Так как sin(47°) / sin(133°) = 1, получаем равенство:

sin(47°) = sin(133°)

Это равенство возможно, так как синусы дополнительных углов равны.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Медиана AM делит сторону BC пополам, поэтому можно записать:

1. AK / BC = 1/2
2. AK = BC/2 = (4√3)/2 = 2√3

Далее, чтобы найти длину медианы, проведенной к стороне BC, нужно применить теорему о косинусах в треугольнике ABC:

BC^2 = AK^2 + CK^2 - 2 · AK · CK · cos(BAC)

Заменяя значения, получаем:

1. (4√3)^2 = (2√3)^2 + CK^2 - 2 · (2√3) · CK · cos(47°)
2. 48 = 12 + CK^2 - 4√3 · CK · cos(47°)
3. CK^2 - 4√3 · CK · cos(47°) + 36 = 0

Теперь важно заметить, что угол BCK равен 90°, так как медиана BM проведена к стороне BC, и медиана делит сторону пополам. Из этого следует, что CK является высотой треугольника ABC, опущенной на сторону AB.

Теперь можно записать соотношение:

1. cos(47°) = CK / BC
2. cos(47°) = CK / (4√3)
3. CK = (4√3) · cos(47°)

На данном этапе мы используем теорему Пифагора в треугольниках AKB и CKC, затем применяем равенство AK*KL = BK*KC, которое мы получили с помощью теоремы о пересекающихся хордах в окружности, описанной вокруг четырехугольника ABLC.

Таким образом, имеем:
AK^2 + BK^2 = AB^2 (по теореме Пифагора в треугольнике AKB)
CK^2 + KC^2 = BC^2 (по теореме Пифагора в треугольнике CKC)
AK*KL = BK*KC (по теореме о пересекающихся хордах в окружности ABLC)

Заметим, что KL = AB - KC, поэтому можно выразить AK через AB и KC:
AK = AB - KL = AB - (AB - KC) = KC.

Подставляем AK = KC и AK*KL = BK*KC в первые два уравнения:
KC^2 + BK^2*KC^2 / KC^2 = AB^2
CK^2 + KC^2 = BC^2

Далее приводим к общему знаменателю и складываем:
4*CK^2*KC^2 + 3*BK^2*KC^4 = 4*AB^2*KC^2

Делим обе части на 3*KC^2:
AK^2 / 3 = BC^2 / 4

Таким образом, мы получили искомое равенство.

Да