Решение задачи по геометрии

При перпендикулярных медианах сумма квадратов сторон, к которым они идут, равна пяти квадратам третьей стороны.

 AC² + BC² = 5 ∙ AB² 

При этом стороны выражаются через медианы следующим образом:

 BC = 2/3 ∙ √(2 ∙ (BK² + CL²) - AM²

AB = 2/3 ∙ √(2 ∙ (AM² + BK²) - CL²

AC = 2/3 ∙ √(2 ∙ (AM² + CL²) - BK² 

(где CL - третья медиана)

3 уравнения, 6 переменных.
AM и BK известны, и известно одно соотношение между сторонами.
Это оставляет нам 3 неизвестных, поэтому осталось только решить систему.

 BC² = 4/9 ∙ (2 ∙ (BK² + CL²) - AM²) = 4/9 ∙ (2 ∙ (36² + CL²) - 27²)

    = 4 ∙ (2 ∙ (12² + CL²) - 9²) 

AB² = 4/9 ∙ (2 ∙ (AM² + BK²) - CL²) = 4/9 ∙ (2 ∙ (27² + 36²) - CL²)

    = 4 ∙ (2 ∙ (9² + 12²) - CL²)

AC² = 4/9 ∙ (2 ∙ (AM² + CL²) - BK²) = 4/9 ∙ (2 ∙ (27² + CL²) - 36²)

    = 4 ∙ (2 ∙ (9² + CL²) - 12²)

5 ∙ AB² = AC² + BC² 

Сложим первое и третье уравнения:

 5 ∙ AB² = 4 ∙ (2 ∙ (12² + CL²) - 9² + 2 ∙ (9² + CL²) - 12²) =

        = 4 ∙ (12² + 9² + 4 ∙ CL²) 

и приравняем различные выражения для AB²:

 4 ∙ (12² + 9² + 4 ∙ CL²) = 5 ∙ 4 ∙ (2 ∙ (9² + 12²) - CL²)

12² + 9² + 4 ∙ CL² = 5 ∙ 2 ∙ (9² + 12²) - 5 ∙ CL²

12² + 9² = 15²