4.1. Периметр ромба равен 42 см, а один из его углов на 60° меньше другого. Найдите (в См) меньшую диагональ ромба

P (ABCD) = 4 * AB = 42 =>
AB = 42/4 = 10,5 - сторона ромба
< A = x
< B = < A + 60 = x + 60
< A + < B = 180 =>
x + (x+ 60) = 180
2x = 120 =>
< A = x = 60 град
< B = < A + 60 = 60 + 60 = 120 град.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов =>
< ABD = < B/2 = 120/2 = 60 град. =>
BD = AB = AD = 10,5 - меньшая диагональ ромба

Dmin = 10,5

В таком ромбе меньшая диагональ равна его стороне

Пусть угол ромба равен x градусов, тогда второй угол будет равен (x + 60) градусов, так как сумма углов в ромбе равна 360°.

Так как диагонали ромба перпендикулярны и делят его на 4 равных треугольника, то каждый из углов треугольника равен (x + 60)/2 градусов. Тогда синус этого угла равен sin((x + 60)/2).

Пусть a – сторона ромба, тогда периметр равен 4a, то есть 4a = 42, следовательно, a = 10,5 см.

Меньшая диагональ ромба равна 2a * sin((x + 60)/2). Таким образом, мы можем записать уравнение:

2 * 10,5 * sin((x + 60)/2) = меньшая диагональ.

Нам нужно решить это уравнение, чтобы найти меньшую диагональ. Для этого мы должны знать значение sin((x + 60)/2).

sin((x + 60)/2) = sin(x/2 + 30) = cos(30) * sin(x/2) + sin(30) * cos(x/2) = √3/2 * sin(x/2) + 1/2 * cos(x/2).

Теперь мы можем записать окончательное уравнение:

2 * 10,5 * ( √3/2 * sin(x/2) + 1/2 * cos(x/2)) = меньшая диагональ.

Решив это уравнение, получим:

меньшая диагональ = 2 * 10,5 * ( √3/2 * sin(x/2) + 1/2 * cos(x/2)) = 15√3 см.

Ответ: меньшая диагональ ромба равна 15√3 см.