Геометрия 8 класс. Длины отрезков

Для решения задачи воспользуемся теоремой о касательной, проведенной к окружности из точки ее касания.

Обозначим длины сторон треугольника a=7, b=9, c=12, а точку касания окружности со стороной a - точкой D. Так как окружность касается стороны a, то отрезок AD является высотой, опущенной на сторону a.

1. Чтобы найти длину наибольшего из отрезков, на которые точка касания делит сторону a, нужно найти длину отрезка BD. Для этого можно воспользоваться формулой полупериметра треугольника r = p/(2p-a), где r - радиус окружности, вписанной в треугольник, p - полупериметр треугольника. Радиус окружности и полупериметр можно найти по формулам r = S/p и p = (a+b+c)/2, где S - площадь треугольника. Получим:

p = (7+9+12)/2 = 14
S = √(14*(14-7)*(14-9)*(14-12)) = 25
r = 25/14

Теперь мы можем найти длину отрезка BD. Для этого заметим, что треугольник ABD - прямоугольный, с катетами AD и BD и гипотенузой AB, которая равна радиусу r. Используем теорему Пифагора:

AB^2 = AD * BD
r^2 = AD * BD
BD = r^2 / AD

Осталось найти длину AD. Заметим, что треугольник ABC подобен треугольнику ADB, пропорциональные стороны имеют соотношение AD/BD = AC/BC. Подставляем известные значения:

AD/BD = c/(a-b) = 12/(7-9) = -6
AD = -6BD

Используя это соотношение, находим длину AD:

AD = r / sqrt(36+1) = 25/14 * sqrt(36+1) / 7

Теперь можно найти длину отрезка BD:

BD = r^2 / AD = (25/14)^2 / [r / sqrt(36+1)] = 25/14 * sqrt(36+1) / 41

Ответ: Длина наибольшего из отрезков, на которые точка касания делит сторону a, равна 25/14 * sqrt(36+1) / 41.

2. Чтобы найти длину наименьшего из отрезков, на которые точка касания делит сторону a, нужно найти длину отрезка CD. Для этого можно воспользоваться подобием треугольников.

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику CDB. Получаем соотношение длин сторон:

AD/CD = BD/BC

Подставляем известные значения:

AD/CD = c/(a+b-c) = 12/(7+9-12) = -4
AD = -4CD

Используя это соотношение, находим длину CD:

CD = AD / (-4) = 25/14 * sqrt(36+1) / 16

Ответ: Длина наименьшего из отрезков, на которые точка касания делит сторону a, равна 25/14 * sqrt(36+1) / 16.