Геометрия 11 кл

Объём бака V=π*R²*h, а расход материала будет наименьшим при условии что будет наименьшей поверхность бака S.
А т.к. S=π*R²+2*π*R*h, то находим условный экстремум функции двух переменных.
При этом V= 19,683π =const, тогда h=V/(π*R²), задача сводится до нахождения экстремума функции одной переменной R.
S(R)=π*R²+2*π*R*V/(π*R²)=π*R²+2*V/R. Производная S'(R)=2*π*R-2*V/R². Приравниваем её к нулю, получаем уравнение π*R=V/R², откуда
R = ³√(V/π) = ³√(19,683π/π) = 2,7 см.
Если R<2,7, то S'(R)<0; если R>2,7, то S'(R)>0. Поэтому значение R=2,7 доставляет минимум функции S(R). При R=2,7 h=V/(π*R²)=2,7.

Ответ:R= 2,7 (ед.); h= 2,7 (ед.) .

52

71

Для решения данной задачи, нам необходимо найти радиус основания и высоту цилиндра, при которых его объем будет равен 19,683π, а расход материала на его изготовление будет минимальным.

Обозначим радиус основания цилиндра как r, а высоту цилиндра как h.

Объем цилиндра можно выразить следующей формулой: V = π * r^2 * h

Исходя из условия задачи, у нас есть следующее уравнение: 19,683π = π * r^2 * h

Так как нам нужно найти значения r и h, при которых расход материала будет минимальным, мы можем использовать метод оптимизации функции одной переменной.

Для этого, мы можем выразить h через r из уравнения объема и подставить его в уравнение расхода материала.

Из уравнения объема: h = (19,683π) / (π * r^2) h = 19,683 / r^2

Теперь подставим это значение в уравнение расхода материала: Расход материала = 2π * r * h + π * r^2 Расход материала = 2π * r * (19,683 / r^2) + π * r^2 Расход материала = (39,366 / r) + π * r^2

Теперь у нас есть функция расхода материала в зависимости от радиуса основания цилиндра. Чтобы найти минимальное значение этой функции, мы можем взять ее производную и приравнять ее к нулю.

Дифференцируем функцию расхода материала: d(Расход материала) / dr = -39,366 / r^2 + 2π * r

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: -39,366 / r^2 + 2π * r = 0

Упрощаем уравнение: -39,366 + 2π * r^3 = 0

Решаем уравнение относительно r: 2π * r^3 = 39,366 r^3 = 39,366 / (2π) r = (39,366 / (2π))^(1/3)

Теперь, когда мы нашли значение радиуса основания цилиндра, мы можем подставить его обратно в уравнение для h, чтобы найти высоту цилиндра.

h = 19,683 / r^2

Таким образом, радиус основания цилиндра будет равен (39,366 / (2π))^(1/3), а высота цилиндра будет равна 19,683 / ((39,366 / (2π))^(1/3))^2.

Пожалуйста, используйте калькулятор для получения точных численных значений.