Как уволится из армии лейтенанту правильно по состоянию здоровья члена семьи?

наверное, Вам лучше задать вопрос в другой категории - юридическая консультация.

28 марта 1998 года N 53-ФЗ
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЗАКОН
О ВОИНСКОЙ ОБЯЗАННОСТИ И ВОЕННОЙ СЛУЖБЕ

Статья 51. Основания увольнения с военной службы
3. Военнослужащий, проходящий военную службу по контракту, имеет право на досрочное увольнение с военной службы:
в) по семейным обстоятельствам:
- в связи с невозможностью проживания члена семьи военнослужащего по медицинским показаниям в местности, в которой военнослужащий проходит военную службу, и при отсутствии возможности перевода военнослужащего к новому месту военной службы, благоприятному для проживания указанного члена семьи;
- в связи с изменением места военной службы мужа-военнослужащего (жены-военнослужащей) , связанным с необходимостью переезда семьи в другую местность;
- в связи с необходимостью постоянного ухода за отцом, матерью, женой, мужем, родным братом, родной сестрой, дедушкой, бабушкой или усыновителем, нуждающимися по состоянию здоровья в соответствии с заключением федерального учреждения медико-социальной экспертизы по их месту жительства в постоянном постороннем уходе (помощи, надзоре) , при отсутствии других лиц, обязанных по закону содержать указанных граждан;
- в связи с необходимостью ухода за ребенком, не достигшим возраста 18 лет, которого военнослужащий воспитывает без матери (отца) ;
- в связи с необходимостью осуществления обязанностей опекуна или попечителя несовершеннолетнего родного брата или несовершеннолетней родной сестры при отсутствии других лиц, обязанных по закону содержать указанных граждан;

выбирайте любое подходящее

пусть служит на гражданке тяжело работы нет

Рапорт написать на имя начальника части (или что там у вас) с ходотайством от начальника Вашего отдела. Потом приказ будет на Ваше увольнение.

Вам нужно обратиться к юристу, если по контракту служит, консультация нужна по любому. И к юристу по военный делам (который занимается контрактами и их расторжением).