народ, как такое возможно?

Есть, не сомневайся.

Time Shifted . Time Shifted TV (с англ. — «сдвинутое во времени вещание») — функциональная возможность цифрового телевидения, при которой пользователь может просматривать телепрограммы, используя функционал "Пауза" и "Перемотка". Возможность постановки на "паузу" телепрограмм цифрового телевидения обеспечивается записью программы на устройство хранения (жёсткий диск в ресивере цифрового телевидения, видеосервер в сети оператора, внешние флеш-накопители в ресиверах) и последующим его воспроизведением с помощью встроенного медиаплеера.

Кто-то мне тут доказывал, что "сейчас все могут пользоваться интернетом" - похоже, всё-таки, не все...

Вам следует уточнить, про что имеете ввиду - встроенную функцию/возможность у телеприёмника Таймшифт (TimeShift), которую ещё называют "видеомагнитофон XXI века", когда пользователь может назначить время/частоту и записать передаваемую программу на внутреннюю память/магнитный носитель/флешку, а затем посмотреть, когда будет удобно; либо речь идёт про интерактивное телевидение, транслируемое вашим оператором/компанией, предоставляющей услуги связи с интернетом - благодаря специальным программам-приложениям, которые становятся доступны пользователям после оплаты и активации пакета вещания кабельного ТВ, абонент получает доступ к управлению просмотра контента: в зависимости от применяемого программного обеспечения, можно отложить просмотр нужной передачи от суток, до бесконечности (в личном кабинете подписчика создаётся архив заказанных трансляций).
Так как все манипуляции носят виртуальный характер (никаких механических частей нет), стало быть, ломаться нечему, то Стоп-кадр может "храниться" бесконечно (есть предупреждения производителей, что "долговременное оставление неподвижных изображений на ЖК-экране, может привести к так называемому эффекту "выгорания пикселей", когда на фоне нового изображения просматривается картинка от старого, например, логотип телепрограммы - не оставляйте на долго без присмотра телевизор")
https://pctuner.ru/page-id-1794.html

приставка для цифрового телевидения, за 800 руб делает это без всякого провайдера

Уже давно!:)

Добро пожаловать в кабельный мир телевидения. Это уже было давно. Где то в старых фильмах 2010 г. Увидел. Хоть у меня уже как 4 года он есть я им не пользуюсь. Если можно найти это в интернете. Ну там сериал или фильм.

Это возможно, но не возможно.

давным давно это уже есть

Есть, он (телевизор) записывает эфир после нажатия на паузу а потом останавливает запись (на запись много памяти не уходит, так как она встроенная и морочься не придятся куда записывать.