в квартире прорвало батарею. Должна ли я за свой счет покупать новую и платить за её установку?

Батарея - общее имущество жилого дома, самостоятельно вы ничего не имеете право делать, только жэк. Напишите претензию в жэк, ссылайтесь на п. 6 ПП №491:
6. В состав общего имущества включается внутридомовая система отопления, состоящая из стояков, обогревающих элементов, регулирующей и запорной арматуры, коллективных (общедомовых) приборов учета тепловой энергии, а также другого оборудования, расположенного на этих сетях.
А на этого слесаря нужно жаловаться в прокуратуру ПЕРСОНАЛЬНО, за ВЫМОГАТЕЛЬСТВО.
Напишите жалобу в жилинспекцию и прокуратуру, просите привлечь директора жэка по ст. 7.22, 7.23, 19.1 КОАП РФ

Слушася, милая, Белого Ветра. Он дело пишет. Все остальные городят чепуху.

То, что он сделал и входит в обслуживание, есть конечно нормы на срок службы всего-раковин, ванн, газовых плит, батарей, но во-первых приватизирована или нет, а во-вторых, чтоб что-то добиться по закону с ЖКХ, придётся судиться с ними, даже если Вы правы, решайте, что проще.

точно не это, покупайте сами, ничего вы не дождетесь

А как вы думали, вот такая демократия. Так что покупайте батарею и устанавливайте

за все происходящее в квартире (и за все, что в ней находится) отвечает собственник. ЖЭУ отвечает за обслуживание общедомовых систем и общего имущества (придомовая территория, вывоз мусора, освещение и отопление мест общего пользования - лестничных клеток, подвалов, чердаков и т. п. , за обслуживание общедомовых инженерных сетей: электропроводка, канализация, водопровод, лифты, пожарная сигнализация и т. п. , кроме того, что находится в квартире)
другими словами - входная дверь в квартиру является границей разделения зон ответственности.
ЖЭУ обязана будет вам возместить расходы (или поменять бесплатно) на батарею только в том случае, если вы сможете доказать, что неисправность произошла по их вине - например неправильный химический состав теплоносителя (в воду добавляются ингибиторы коррозии) . НО ДОКАЗАТЬ ЭТО ПРАКТИЧЕСКИ НЕВОЗМОЖНО ИЛИ ОЧЕНЬ ЗАТРАТНО МОРАЛЬНО И ФИНАНСОВО (проще заплатить 2000)
вообще перечень работ по обязательному техническому обслуживанию должен быть приведен в договоре управления многоквартирным домом, и на его основе делается расчет тарифа за обслуживание.
также вы можете найти нормативы в Постановлении Правительства Российской Федерации от 23 мая 2006 г. № 307 г. Москва "О порядке предоставления коммунальных услуг гражданам" - http://www.rg.ru/2006/05/31/kommunalka.html
или в жилищном кодексе

Если квартира приватизирована-то сами меняете. А если в соц. найме то жэу

В первом приближении Белый ветер прав. Но в " законодательных и нормативных документах" в ЖКХ ( общероссийский информационный бюллетень за январь 2007 г. , раздел 5- консультации специалистов) радиаторы не относятся к составу общего имущества, обязанности по замене и ремонту несет собственник.

Да они совсем оборзели!! ! Надо идти и жаловаться вышестоящему начальству.