Можно ли прописать ребенка в квартиру, на мамину часть, если приватизация оформлена в равных долях на его бабушку и маму

Ребёнок прописывается по месту жительства одного из родителей. Где живёт мать, там без проблем должны прописать и ребёнка. Отказ бабушки значения не имеет, а при отказе со стороны местных органов регистрации суд будет на стороне матери, если на то есть её желание (я так понял, что Вы и есть мать?) .
Путаетесь в показаниях! Ребёнок прописывается по месту жительства родителя, коим считается прописка. В противном случае у Вас "подкидыш" получается! А если бы в квартире, коей частью владеет мать вообще бы никто не жил? ! У Вас может быть хоть 10 квартир, но прописывают по месту жительства матери, если только жильё не временное, не съёмное!

А зачем Вам его туда прописывать? Вы собственница, без Вас врядли с квартирой что то можно сделать.. . кроме дарения или завещания бабушкой своей доли постороннему человеку, но в этом случае даже прописка ребенка ничего не изменит.
Ребенок Ваш в эту квартиру может прописаться только вместе с Вами.

Ребенок прописывается не на часть, а регистрируется для проживания в этой квартире с согласия всех собственников, В данном случае автоматически к маме прописывается ребенок (если иных причин нет)

Ребенок должен быть зарегистрирован по месту регистрации одного из родителей.

Конечно может, на приватизацию этот факт никаким образом не повлияет.