После покупки квартиры обязательно ли в ней прописываться, или можно жить в ней без прописки, какие я имею права.

Прописываться (т. е. регистрироваться) - не обязательно. Если у Вас есть свидетельство о праве собственности на квартиру - Вы вправе распоряжаться ей, как хотите, в т. ч. - использовать для собственного проживания. То есть можете жить и без прописки (только не признавайтесь, что живёте тут постоянно - иначе будет штраф за проживание без регистрации) .
Регистрация (то, что Вы назвали пропиской) - .это запись, которая подтверждает, что указанный адрес является Вашим местом жительства. Заметьте, что регистрация сама по себе не определяет Ваше место жительства и вообще никоим образом не изменяет (умаляет или увеличивает) Ваши права. То есть регистрация это вторичный институт: сначала у Вас возникает право проживания в каком-либо помещении (например, на основании договора аренды, социального найма, в качестве члена семьи собственника или нанимателя и прочее) , и лишь потом Вы его регистрируете.
Регистрация возможна только по одному адресу, но это не лишает Вас права проживать во всех жилищах, которыми Вы владеете на законных основаниях (например, по одному дню в каждом доме) , или в одном из них по своему выбору.
(Пишу так подробно потому, что только недавно было одно интереснейшее уголовное дело по ч. 1 ст. 139 УК РФ (незаконное проникновение в жилище) , "завязанное" (дело) на "прописке" в этой квартире...

Можно не регистрироваться, и, если у вас нет счетчиков - то с вас не будут брать плату за холодное, горячее водоснабжение и газ.

вы имеете право собственности ...регистрироваться в этой квартире не обязательно

Регистрацию можно и не делать. но тогда всеравно с одного человека будут брать оплату жкх

Регистрироваться не обязательно, но как вы оплачивать коммуналку собираетесь? Всё оформлять надо, могут быть проблемы

человек может быть прописан только по одному адресу.