нужно ли приватизировать кооперативную квартиру,

В соответствии с. п. 4 ст. 218 ГК РФ, член жилищного, жилищно-строительного, дачного, гаражного или иного потребительского кооператива, другие лица, имеющие право на паенакопления, полностью внесшие свой паевой взнос за квартиру, дачу, гараж, иное помещение, предоставленное этим лицам кооперативом, приобретают право собственности на указанное имущество.
Это означает, что, выплатив свой пай, Вы автоматически становитесь собственником квартиры и "приватизация" здесь совсем не "в теме".

Нет. Она принадлежит не муниципалитету, а члену кооператива. Она частная изначально. После полной выплаты пая можно оформить право собственности в ФРС

Нет, она же уже куплена и находиться в собственности, единственное если нет необходимых документов (паспорт БТИ, свидетельство о праве собственности) , то их надо оформлять, они всегда могут понадобиться.

Приватизировать не нужно, а вот зарегистрировать свое право собственности на квартиру в регпалате нужно.

Статья 129. ЖК РФ Право собственности на жилое помещение в многоквартирном доме члена жилищного кооператива
1. Член жилищного кооператива приобретает право собственности на жилое помещение в многоквартирном доме в случае выплаты паевого взноса полностью.

Статья 218 ГК РФ:
Основания приобретения права собственности
4. Член жилищного, жилищно-строительного, дачного, гаражного или иного потребительского кооператива, другие лица, имеющие право на паенакопления, полностью внесшие свой паевой взнос за квартиру, дачу, гараж, иное помещение, предоставленное этим лицам кооперативом, приобретают право собственности на указанное имущество.

Т. е. после того, как вы полностью выплатили паевой взнос вы приобрели право собственности на квартиру, и вам лишь необходимо зарегистрировать его, тогда вы станете полноправным собственником квартиры.