На что в первую очередь нужно обращать внимание при покупке квартиры,которая досталась продавцу по наследству и вообще

Самое главное-не будет ли кто претендовать на квартиру из неизвестных
пока родственников продавца, а посему надо устроить серьезнейшую проверку по этому поводу: у нотариусов, в БТИ, в жилотделах администрации
города и негласно у родственников. Пусть продавец покажет документ на
наследство, лучше всего в присутствии нотариуса, адвоката.

Очень на многое. Покупка такой квартиры огромный риск.

Ну например На неузаконенную перепланировку! По наследству она могула достатся в перепланированном виде без легализации но с оформлением в собственность!

смотри, чтоб она была уже не продана, не заложена (в юстиции можно узнать) , кто является собственником (в идеале Продавец, часто по завещанию наследников несколько и квартира может принадлежать не 1, а 2-м, 3-м людям) , может вам лишь полквартиры продают?
Чтоб там никого прописано не было. Особенно несовершеннолетних детей. Или тех, кто выписан был например в места лишения свободы или в армию. А то вернутся, будут проблемы.

И еще - кто был прописан, куда выбыл (может быть, в тюрьму или в длительную командировку) ; нет ли других наследников.

кто в ней прописан и документацию на квартиру.

Кроме всего перечисленного, если квартира была приобретена по наследованию до 1 января 2006 года необходимо потребовать справку из ИФНС РФ об осутствии задожености по налогам, так как до этого периода наследование подпадало под налогообложение
Кроме того, проверяем имелись ли дети или иные лица, имеющие право на обязательную долю в наследстве, но в права наследования не вступили, илине дали отказ от принятия наследства