В квартире 4 собственника\два из них несовершеннолетние дети\ может ли? один из взрослых собственников продать 1 часть.

Продать - маловероятно. У этого взрослого имеется 3 сособственника, 2 из которых - несовершеннолетние. Если второй взрослый в теории, допустим, даст отказ от права преимущественной покупки, то за несовершеннолетних эту бумагу дают органы опеки и попечительства по заявлению законных представителей этих несовершеннолетних (родителей) и самих н/летних. Даже если законные представители обратятся в опеку с подобным заявлением, в случае ухудшения условий жизни детей (а условия ухудшатся однозначно, если в проданную долю въедет чужой дядя или тетя) , опека эту бумагу не даст. Соответственно, и продажа не состоится.
В теории возможно дарение этой доли, однако нужно помнить, что купля-продажа, "прикрытая" договором дарения - сделка притворная, соответственно, плохо сочетающаяся с законом. Отчуждение идеальной доли без раздела права пользования не сулит ничего хорошего ни сособственникам, ни "дарителю" - гражданин, приобретший такую долю, приобретет вместе с ней ворох проблем (препятствия со стороны сособственников, которые могут не давать новому собственнику в квартиру вселиться, всякого рода судебные разбирательства - они могут ничем и не закончиться, но нервов будет вымотано немало) и через некоторое время этот "покупатель" (одаряемый) может начать требовать свои деньги обратно.

Может продать свою долю.

Свою долю -конечно может, но у других собственников есть право преимущественной покупки на условиях продавца.

Теоретически - да. Практически - очень сложно.
Первые на очереди в покупке - другие собственники квартиры.

Нужно согласие всех собственников и разрешение органов опеки.

Без разрешения второго совершеннолетнего не может.
И вообще квартиру нельзя продавать по частям!