Могут без моего согласия открыть под моей квартирой магазин? Законно просить с них денег, моя квартира теряет цену?

Если это магазин. И не круглосуточный.... -здесь есть определенные нормы.... То могут. Я не имею в виду реконструкции.. . Если изначально там было нежилое помещение. Ну а денег попросить Вы, конечно, можете, а вот получить.... не знаю. Смотря чем будете мотивировать....

могут, почему нет. они только обязаны будут сделать себе отдельный вход

Ерунда по поводу согласия соседей. Для перевода помещения из жилого фонда в нежилой (скорее всего, речь об этом) необходимо:
1) заявление о переводе помещения;
2) правоустанавливающие документы на переводимое помещение (подлинники или засвидетельствованные в нотариальном порядке копии) ;
3) план переводимого помещения с его техническим описанием (в случае, если переводимое помещение является жилым, технический паспорт такого помещения) ;
4) поэтажный план дома, в котором находится переводимое помещение;
5) подготовленный и оформленный в установленном порядке проект переустройства и (или) перепланировки переводимого помещения (в случае, если переустройство и (или) перепланировка требуются для обеспечения использования такого помещения в качестве жилого или нежилого помещения) .
Вот если бы наоборот: Ваша квартира в полуподвале, а магазин сверху, то запрещено. Или они открыли бы производственное помещение.. . А так Вы ничего не сделаете. Они такие же собственники помещения, как и Вы.

Нет, незаконно. Организация, открывающая магазин, должна письменное согласие ВСЕХ жильцов получить. Если вас что-то не устраивает-жалуйтесь в соответствующие инстанции.

Согласно ст. 40 п. 2 ЖК РФ Ваше согласие потребуется только если реконструкция, переустройство и (или) перепланировка помещений невозможны без присоединения к ним части общего имущества в многоквартирном доме, на такие реконструкцию, переустройство и (или) перепланировку помещений должно быть получено согласие всех собственников помещений в многоквартирном доме.

В наше время всё можно! По идеи они должны собрать определённы % подписей с разрешением, и они их собирают, даже не важно как. Подавать в суд можно, только если жильцы ничего не подписывали, только вот вопрос в вероятности выигрыша и готовности людей бороться.