Может ли владелец 1/10 доли квартиры продать свою долю посторонним (не остальным собственникам) лицам?

Нет. Сначала должен предложить сособственникам купить по уст. цене, написав предложение и вручив официально с уведомлением, если они откажутся или не ответят в уст. законом срок, тогда имеет право ровно по этой цене продать кому угодно.
Только кто купит-то 1/10 доли? Вы вот не написали сколько метров и комнат в квартире. Норм. покупатель, понимает, что не комнату даже он покупает себе ( выделенную в натуре долю) , а черт знает что.... Тока если ради регистр, ибо на собств. можно рег.
Сейчас, между пр. , рассм. введение поправок в закон, запрещающих вот так доли крошить и торговать ими.

Продать может, предварительно предложив выкупить остальным собственникам точно по той же цене, по которой потом собирается продавать. Если потом продаст хотя бы на 100 рублей дешевле - договор расторгается в суде. Вопрос в следующем - кто и за сколько это купит? Ответ - никто. Ну если только за две копейки. Въехать и жить скорее всего не сможет, ну если только в этой квартире не 10 комнат . Вариант - абсолютно проигрышный для владельца 1/10.

Вполне. И покупатель может въехать или подать в суд на вселение.

Нет, не может, т. к. это ничтожно малая доля.

Если другие откажутся. Может покупатель жить на своих метрах.

может но только после того как письменно известит иных собственников под роспись и они от покупки откажутся

Да, может, соблюдая преимущественное право покупки (ст. 250 ГК)

Может, при отказе покупки этой доли другими собственниками. Только кому нужна это 1/10 доля))))