что останется 11 летнему сыну?

Так умер отец или нет?
Мать до какой степени ...бомж.. . и в широком ли смысле?
Она что лишена родит. прав?
Ребенок доли не имеет, ибо квартира не в собственности у него и и/или отца.
Квартира в собственности муниципалитета.
Ребенок имеет право проживания и пользования на осн. договора соцнайма.
Мать как законный представитель несовершеннолетнего должна обратиться в муниципалитет, представить свид. о смерти отца, просить закл. договор соцнайма на ребенка, выступать в договоре этом от имени ребенка как законный представитель ребенка, просить муниципалитет разрешения на вселение в жилое помещение.
Будет договор соцнайма на ребенка (и возможно и мать) - можно подать и заявление на приватизацию комнаты.

Никакой доли у отца нет, перейти нечему. Мать прописаться не сможет.

Любым способом в комнату вселить ребёнка (вещи внести) а потом ходатайствовать о регистрации матери по месту проживания несовершеннолетнего ребёнка...

Так пусть проживает по месту регистрации.. . вселите!! ! Не захотят - с участковым вселять.. . Можно и органы опеки подключить для вселения.. . Мать тоже можно вселить и зарегистрировать через органы опеки.. . Она является законным представителем своего несовершеннолетнего ребенка.. . Можно по решению суда.. . Заключить договор соц. найма.. . И в дальнейшем, при желании.. . можно приватизировать....

Там соседи могут комнату оспорить и занять.

Если сын прописан, просто продлевается договор соц. найма. Ребенок несовершеннолетний, поэтому не может быть ответственным квартиросъемщиком, с ним должен быть родитель или опекун....

доля ребенка никуда не денется без согласия органов опеки и попечительства