кому я могу оставить НЕприватизированную квартиру после смерти?

Тому с кем вместе прописан, иначе отойдёт государству.

А причем тут Вы? ? квартира же не ваша собственность, в нее вселят таджика- дворника, от жилконторы. И прописку опять же будут решать они- кого, как и когда.

Пусть будет прописан кто-то из детей или внуков. А почему вы не хотите квартиру приватизировать? Уже использовали это право?

Это социальный найм. Вы нанимаете квартиру у государства. Поэтому распоряжаться ей не можете, т. е. не можете передать по наследству. Она вам не принадлежит. Достанется она тому, кто в ней прописан. Если никто не прописан кроме вас, то после смерти она отойдет государству и в неё заселят человека, стоящего на очереди и нуждающегося в жилье.

неприватизированная квартира вам не принадлежит, завещать её вы не можете, по наследству она никому не перейдет. Если в квартире больше никто не зарегистрирован, она будет предоставлена посторонним людям, состоящим в очереди в муниципалитете на улучшение жилищных условий, по договору социального найма.

Следовательно, Вам нужно приватизировать квартиру или зарегистрировать в ней кого-то из родствеников, если вы хотите, чтобы потом они могли проживать в этом жилом помещении.
Приватизированную квартиру вы можете завещать, подарить при жизни, оформить договор пожизненной ренты и т. д. Если сами квартирой не распорядитесь, по закону она перейдет к вашим наследникам. В первую очередь наследуют дети, супруг, родители умершего.

или приватизировать квартиру, или кого-нибудь в квартиру прописать