имеет ли мать право, разведясь, продать свою долю в квартире, если один из остающихся собственников ее малолетний сын?

имеет. Только на отказ ребенка от права покупки требутся разрешение опеки

а где мать жить собралась после продажи своей доли?

Мать, полагаю, понимает, что делает?
Понимает, что право преимуществ. выкупа у сособственников, т. е. у ее несоверш. сына в том числе?
И коллизия возникает, ибо мать законный представитель несоверш. ребенка и должна будет отправить от имени несоверш. ребенка самой себе отказ от выкупа?
Тогда согласие или отказ отца ребенка, как др. законного представителя, и ХЗ как дело повернется.
И мать эту после продажи этой ее доли, могут выселить из этого жилого помещения по ст. 292 ГК РФ, а м. б. и пост. 31 ЖК РФ.
Мать понимает, что несоверш. дети должны проживать с родителями?
И туда, где она будет проживать после продажи своей доли ( надеюсь имеется жилое помещение в котором приютят на законных основниях мать) , она будет должна и ребенка вселить и зарегить, если в резалте развода судом определено место проживания ребенка с матерью.
А то отец ребенка возбудится и кинется определять место проживания ребенка с ним, раз мать свалила из жилого помещения, в кот. у нее и ребенка были права проживания и пользования на праве собственности.
Типо продала долю и съехала ХЗ куда- кутить в Монако, а папе надо заботиться о ребенке на законных основаниях, тем более у них доли в одном жилом помещении и факт. проживают совместно и зарегены совместно.

имеет, она ж долю сына не продает

Мать хочет, чтобы муж (бывший) выкупил у нее долю в пользу сына, ибо, оказавшись выкупить в пользу сына, он не сможет выкупить долю на свое имя. Неплохо. А если откажется, что дальше? Продадите, оформив договор дарения? А в нем будет значиться инвентаризационная стоимость. Бывший муж оспорит такой договор в суде на первом же заседании, выкупит долю по инвентаризационной стоимости в пользу ребенка, а мама останется "с носом". Ни доли - ни денег.

Имеет. Только никуда ходить не надо (опека) , уведомление ребенку о прдаже делается через почту заказным письмом с описью (через нотариуса дороже).