Вправе ли я требовать регистрации на себя права собственности на эту квартиру?

Вы должны, не являясь собственником, но добросовестно, открыто и непрерывно владеть как своей собственной квартирой 18 лет (15 лет приобретательная давность+3 года исковая давность) .
Теперь по пунктам
- собственником действительно Вы не являетесь.
- добросовестность подразумевает, Вы не знали, что у Вас нет оснований для возникновения собственности, например, думали, что купили (составили договор купли-купли продажи, но не зарегистрировали, т. к. не знали, что это надо делать) и т. п. Вы квартиру просто захватили, т. е. недобросовестно поступили.
- про открытость владения. Вы платили налоги за собственника, а не за себя, т. е. скрывали факт владения перед налоговой (т. е. перед государством) .
- непрерывно действительно владели
- про срок – ждите ещё три года.
Вывод: подождите 3 года, идите к адвокату, составляйте иск, однако поразмыслите над добросовестностью – например, договор купли-продажи был, но ……..

нет. если у квартиры есть собственник, то вы не при делах.
приобрести в порядке приобретательной давности можно только БЕСХОЗНОЕ имущество.

если место нахождения собственника неизвестно, можете и дальше пользоваться квартирой

Заняла "неиспользуемую СОБСТВЕННИКОМ квартиру" - вот с этого места поподробнее бы....

Если вы на НЕЗАКОННЫХ основаниях добросовестно, открыто и непрерывно владели как своим собственным данным недвижимым имуществом, то через 18 лет ( 15 лет - приобретательная давность + 3 года - исковая давность ), вы можете обратиться в суд с иском о признании права собственности на данную квартиру в порядке приобретательной давности ( ст. 234 ГК РФ ) !

Если собственник известен, то прав не имеете.

Думаю, что правы Ю. Ижевский и М. Рузайкина.

Только, согласно ГК РФ, имущество, не имеющее собственника, называется БЕСХОЗЯЙНЫМ.

Похоже на задачу. Ну да ладно.
Дело в том, что институт приобретательской давности применяется тогда, когда собственник НЕИЗВЕСТЕН. Если он известен, то живи вы хоть 150 лет, а не 15, никаких оснований требовать признания за вами права собственности у вас нет. Более того, вас еще и к уголовной ответственности привлечь можно будет.

а собственник как к этому отнесется? схавает думаешь?

Попробуй заяви свои права. Я думаю лет на 5 потянет - "самовольный захват собственности".