Выписка из квартиры пожилого родственника

Все правильно - сначала нужно прописать и прийдет уведомление. Но процесс нужно ускорить, до матра осталось не много времени.

Что за выписка еще?
Выселение со снятием с регистр. учета? По какому основанию? Квартира в собственности ( у кого именно) или муниципальная? Или м. б. признать утратившим право проживания и пользования.
М. б. факт. не проживает и только речь о снятии с регучета.
На каком основании в н. в. этот пожилой родственник проживает?
Почему вы решили, что его надо и можно "выписать"?

пусть мама идет и регистрируется в доме
из квартиры ее выпишут сами, без вас

Если свекровь в здравом уме, но всего лишь не умеет писать, то для подписания доверенностей существует рукоприкладчик, который подписывается за человека, который в силу каких-то причин (не умеет писать, нет рук, не может расписаться в виду болезни и тд) сам не может поставить подпись. Поговорите с нотариусом-если свекровь нотариусу может внятно обьяснить, что и кому она хочет доверить, используйте рукоприкладчика (им может выступать любой незаинтересованный человек). Таким же образом можно подписать отказ от приватизации (если нужно) и нотариально его удостоверить.
Если не получится-прописывайте маму в дом-документы на выписку придут их внутренней почтой. Правда идти могут очень долго-у нас внутри Питера бывает и месяц и полтора идут.