что должна управляющая компания делать платно, а что бесплатно?

Бесплатно УК ничего не делает, это не фонд Сороса.
Оплату они получают от вас каждый месяц за содержание дома и управление жил. фондом.
Выдача справок как раз входит в услуги по содержанию и управлению, поэтому писать нужно в прокуратуру, Роспотребнадзор, полицию тоже можно.

Другой вопрос заключается в том, что никаких справок о смерти УК не выдает, свидетельство о смерти выдает ЗАГС.
Справки об отсутствии задолженности, в рег. палату для приватизации или продажи квартиры уже много лет как не требуются.

жалобу в прокуратуру: прошу проверить законность...

Заявление в прокуратуру на предмет проверки законности таких поборов.

2. Требование лицом, указанным в части 1 настоящей статьи, для предоставления государственных услуг, предоставляемых федеральным органом исполнительной власти или государственным внебюджетным фондом Российской Федерации, документов и (или) платы, не предусмотренных федеральными законами и принятыми в соответствии с ними иными нормативными правовыми актами Российской Федерации, если эти действия не содержат уголовно наказуемого деяния и влечет наложение административного штрафа на должностных лиц федеральных органов исполнительной власти или органов государственных внебюджетных фондов Российской Федерации в размере от пяти тысяч до десяти тысяч рублей; на работников многофункциональных центров, работников иных организаций, осуществляющих в соответствии с законодательством Российской Федерации функции многофункционального центра, работников государственного учреждения, осуществляющего деятельность по предоставлению государственных услуг в области государственной регистрации прав на недвижимое имущество и сделок с ним и государственного кадастрового учета недвижимого имущества, - от одной тысячи пятисот до трех тысяч рублей.