Могут ли помочь в данной ситуации органы местного самоуправления? Могу ли я к ним обратиться? Что они могут предпринять?

Могут и даже обязаны. Необходимо пригластить представителя ОСУ и Участкового, составить акт (срач, разруха, отсутствие жильцов, разрушение дома и пр. ) который приложите в суде. В суд исковое типа: обязать хозяина, все устранить (оплатить) . Если суд не вынесет решение из за НЕ установлении нахождения лица-хозяина, то простите суд передать вам дом на "управление, сохранение" или как там юристы сформулируют. А далее по прошествии 10 лет (вроде бы или 3 года, не помню) . признаете дом брошенным и показав все ваши затраты на его содержание (любые чеки! договоры и пр. ) придумайте что с ним делать, передать государству и выкупить по остаточной стоимости... .
А пока идут годы, домик сдайте к примеру или поселите родню, детей, сами пользуйтесь...

Надо подать заявление участковому. Он обследует, составит отчет и перешлет в администрацию. Эту половину: окна, двери заколотят. Вам точно не отдадут. Это- чужая собственность. Надо было договориться с хозяином и снять у него половину. Хотя бы за ремонт. Думаю, договориться бы удалось.

"ваша половина дома" насколько ваша?
Вы собственник? .
Собственник доли в жилом помещении доме?
Или это МКД, и вы собственник жилого помещения- квартиры в этом доме?
Или вы наниматель квартиры в этом доме и проживаете по дог. соцнайма?
В посл. случае муниципалитет как собственник жилого помещения имет и долю собственности в общ. имуществе- крыша. подвал и пр. общ. имущество, и капремонт - за счет собственника- муниципалитета.
Если жилое помещение. заним. вами по дог. соцнайма признано непригодным для проживания ( в установл. законом порядке) , то вам вне очереди должны предоставить иное жилое помещение.
Если отказывают- обращ. в суд - обжаловать бездействие с требованием предоставить.
Понятно, что возможно нет своб. жилых помещений у муниципалитета, и купить или построить за счет бюджета муниципалитета не могут, и очередь из имеющих право на внеочередное предоставление уже образовалась, но с таким реш. суда об обязании и исполнит. листе, при появлении в распоряж. муницип. освободившегося жилого помещения, на основании реш. суда и исполнит. листом и приставами вполне можно добиться исполнения реш. суда .
Если вы собственник жилого помещения, то капремонт за ваш счет, солидарно с сособственником. как и уборка территории.
Уборку тоже можете сами и заколотить окна и двери, чтобы не шарашился никто. Это в ваших интересах.

. Надеятся что вас ждут с распростертыми объятиями пребольшое заблуждение. Это дело рук самих утопающих.

Обратиться вы к ним можете, а вот сделать они ничего не смогут. Во первых, у данного объекта есть собственник, во вторых, в бюджете муниципалитетов на это нет денег. Максимум, что можете вы: либо выкупить у собственника другую часть дома или обратиться в суд с иском об обязании собственника содержать принадлежащие ему имущество, вот тут местные влати могут быть на вашей стороне.