Как можно продать квартиру, если собственник, который имеет в квартире только четвертую часть, не согласен на продажу?

Никак! Убеждать, упрашивать....

Теперь его доля стоит столько, за сколько он согласится её продавать вместе с вами. Выкупить её дешевле вы не сможете. Ваш интерес -- разница, которую вы можете получить при продаже квартиры целиком по сравнению с продажей своих долей в праве отдельно от него.

Продать свои 3/4 иного не дано.

А НИКАК! ! !
Согласно п. 1 ст. 246 ГК РФ "Распоряжение имуществом, находящимся в долевой собственности, осуществляется по соглашению ВСЕХ ее участников. "
И даже в судебном порядке Вы НЕ сможете ВЫСЕЛИТЬ человека из жилого помещения, являющегося общей (и его, и Вашей) собственностью, а тем более продать ОБЩЕЕ имущество вопреки его желанию, только на том основании, что Вам ХОЧЕТСЯ продать.
(Кстати, идея насчет признания его "невменяемости" сама достаточно дебильна просто потому, что даже будучи признаным недееспособным, он по-прежнему, останется сособственником этой квартиры - для продажи понадобится согласие и его опекуна, и органа опеки) .
Договаривайтесь...

Никак

очень легко! заинтересуйте собственнинка материально, то есть продаете, и делите деньги пополам, независимо от того, что у него 1/4.

На основании ст. 250 Гражданского кодекса, вы должны в письменной форме предложить выкупить свои доли в квартире тому кто не согласен продавать свою, если он откажется их выкупать (пусть делает нотариальный отказ) , потом можно уже без него продать свои доли.
ст. 250 ГК РФ
1. При продаже доли в праве общей собственности постороннему лицу остальные участники долевой собственности имеют преимущественное право покупки продаваемой доли по цене, за которую она продается, и на прочих равных условиях, кроме случая продажи с публичных торгов. Публичные торги для продажи доли в праве общей собственности при отсутствии согласия на это всех участников долевой собственности могут проводиться в случаях, предусмотренных частью второй статьи 255 настоящего Кодекса, и в иных случаях, предусмотренных законом. 2. Продавец доли обязан известить в письменной форме остальных участников долевой собственности о намерении продать свою долю постороннему лицу с указанием цены и других условий, на которых продает ее. Если остальные участники долевой собственности откажутся от покупки или не приобретут продаваемую долю в праве собственности на недвижимое имущество в течение месяца, а в праве собственности на движимое имущество в течение десяти дней со дня извещения, продавец вправе продать свою долю любому лицу. 3. При продаже доли с нарушением преимущественного права покупки любой другой участник долевой собственности имеет право в течение трех месяцев требовать в судебном порядке перевода на него прав и обязанностей покупателя. 4. Уступка преимущественного права покупки доли не допускается. 5. Правила настоящей статьи применяются также при отчуждении доли по договору мены.

продать свои 3 части. и пусть остается

через суд если вы только предоставите документы об его "невменяемости /неспособности адекватно оценивать данную ситуацию" то да
а так ни как. нужно его согласие.

Квартиру целиком никак, но Вы можете продать свои доли предварительно предложив их четвертому сособственнику. Вот только доли стоят очень не много, гораздо ниже рыночной цены.