Подскажите, можно ли оформить документ дарения или еще как-то (вн)

Начинать надо было с комментария к последнему ответу "Недвижимость находится в Украине". У любого нотариуса РФ оформляете доверенность на третье лицо на дарение Вашему сособственнику Вашей доли (частки) . Доверенность и документы на долю посылаете по почте ценным письмом с описью вложения. Доверенность, написанная российским нотариусом будет принята на всей территории Украины (ну, кроме зоны боевых действий в Донецкой и Луганской областях, там и нотариусы не работают сейчас) . В доверенности обязательно указываете ФИО одаряемого, в противном случае доверенность будет не действительна. Кстати, а Вы уверены, что Ваша доля выделена? Если собственность общая совместная (спільна сумісна) , то придется в доверенность вписывать и полномочия по выделению долей.

разве только в консульском учреждении государства нахождения той квартиры

Нанять там юриста.

Отправить туда кому-нибудь доверенность с правом отчуждения. Или привезти покупателя или одаряемого сюда.

Отказаться - это как? В какой стране мира можно отказаться от недвижимости, просто написав заявление?
Отчуждение имущества - результат сделки (купли-продажи, дарения и тд.) . Это только от права на наследство можно в консульстве отказаться - потому как вашего присутствия вполне достаточно. Дарение-две стороны, ДКП-тоже. Отказаться в пользу государства - чушь.
Вам надо оформить доверенность на определенное лицо, которое будет представлять ваши интересы по данному поводу и указать все делегируемые ему права.

Отчуждение забугорной недвижимости должно осуществляться по законам той страны, где она находится.
Поэтому документы и порядок переоформления должен узнавать тот, кто находится в той стране.
Действуют ли у них доверенности, удостоверенные в России? каков должен быть их текст? Какие еще документы нужны? А так же-под какие налоги Вы можете попасть.