на каком основании собственники жилья могут продать свою долю в квартире?

На основании того, что эта доля принадлежит им на праве СОБСТВЕННОСТИ, то есть у них есть право владения, пользования и РАСПОРЯЖЕНИЯ. Ничье согласие на это им не требуется. Кому хотят, за сколько хотят-тому и продадут.
Единственное, что имеется у остальных сособственников-это первоочередное право покупки. То есть, в первую очередь продавец должен предложить купить его долю своим сособственникам. Он посылает им уведомление о продаже с обязательным указанием цены, которую хотел бы получить за свою долю. Если сособственники не соглашаются на покупку в течении месяца (не устраивает цена или вообще нет денег), то он имеет право продать долю любому желающему.
Новый собственник имеет полное право заселиться в квартиру и прописаться в ней.
Два нормальных выхода из сложившейся ситуации
1.Соседям найти денег и выкупить эту долю, став владельцами всей квартиры
2.Всем договориться и продать целиком квартиру и попилить деньги соответственно своим долям. А потом каждый решает свои жилищные проблемы отдельно. (Возможно купив комнаты в коммунальной квартире-хоть комната, но зато СВОЯ<никто уже в нее не полезет)

изначально - по собственному желанию, а уж затем - по всем прочим

Основание только одно - их желание. Суд такими вопросами не занимается. Ни чьего согласия не требуется. Ваше имущество и вы можете делать с ним все, что захотите.

достаточно желания собственника
он ведь не всю квартиру, а только свою долю продавать будет
у второго сособственника есть право первоочередной покупки - пусть выкупает долю

Если вы не чужие люди - а скорее всего так поступают любимые чада, которые ничего не сделали в своей жизни для получения этой квартиры кроме того, что родились в этой квартире на шею несчастным родителям. - разумнее совместно решать вопрос расселения,
т. к. после продажи вашей доли вы получите далеко не половину стоимости квартиры, а в прямом смысле копейки (и не решите своих проблем),
при этом ваш сособственник через пару месяцев окажется на улице в картонной коробке - такой бизнес по скупке долей..

На то он и собственник, что бы распоряжаться свой собственность по своему усмотрению. НО он обязан предупредить других собственников долей о продаже и предложить выкупить свою долю с указанием цены ( желательно письменно). И тогда уже продать по иной цене кому-либо нельзя.