Можно ли выписаться из квартиры и прописаться в другом городе? Могут ли его взять на работу?

Можно не сниматься с рег. учета, а сделать регистрацию по месту пребывания в Вашем городе. Заключить договор найма и по возвращению домой сделать перерасчет: представив билеты, договор найма и квитанции, подтверждающие оплату коммунальных услу по месту пребывания. Сделать это можно в течение 5-ти дней со дня прибытия или посылать подтверждения о не проживании по месту жительства своим родителям, например, раз в три мес.
Родители отнесут документы в УК, напишут заявление и им будут делать перерасчет. Можно и самому, заявление и документы посылать заказным письмом сразу в УК и другим поставщикам ком. услуг (в общем туда, откуда приходят квитанции об оплате)
Если кв. муниципальная, конечно сниматься с рег. учета не следует.
В собственности у родителей, потом регистрация только с их согласия. Если в есть доли, можно и сняться с рег. учета . Вновь зарегистрироваться можно самостоятельно. Ничье согласие не потребуется.
Отсутствие четкой информации о о форме собственности на квартиру, заставляет заниматься лишней писаниной и невозможность Вам получить конкретный ответ.

СНЯТЬСЯ с регистрации - можно, вот только сначала надо найти такую квартиру, где его согласны зарегистрировать. Вообще-то возникают вопросы - оба совершеннолетних сыночка НЕ работают, но деньги на оплату долгов у них есть... Вопрос почти неприличный - откуда дровишки?

хотят потерять квартиру - пусть не платит
хочет заплатить - пусть платит
в чем проблема?
хочет уехать - пусть уезжает