Умер собственник квартиры, с ним проживал прописанный в ней единственный прямой наследник, может он проживать и далее?

Когда отец умрет, вы пойдете к нотариусу, подадите заявление о принятии наследства.
Если нет завещания, то наследование по закону.
А по закона наследники первой очереди дети умершего. родители. супруг.
Если у вашего отца нет в живых родителей. нет др. детей. он не в браке на момент смерти будет, то вы- единственный наследник первой очереди по закону, ибо сын.
Вы будете продолжать жить в квартире, в кот. живете, платить жилищ. и комм. услуги, а через 6 мес. с даты открытия наследства (дата смерти отца), вы получите у нотариуса свидетел. о праве на наследство. на основании которого зарегите переход права собственности на квартиру на себя в Росреестре, в резалте - получите свидет. о праве собственности на квартиру.
У вас даже льгота по госпошлине за свидет. о праве на наследство- платить ее не будете. раз совместно с наследодателем до его смерти проживали, и после его смерти там же живете. Эту льготу подтвержд. будет выписка из дом. книги о месте вашей регистр. по месту жительства.

вы пишете: остальные умерли. Это кто? были еще дети? если так, то помимо вас наледовать будут внуки

Если вы там зарегистрированы, вы можете проживать там после смерти собственника даже если у него другие наследники. И снять с регистрации вас могут только по суду при наличии оснований.

Так ещё не умер собственник же вроде. Какая-то путаница в вопросе.

если вы единственный наследник и зарегистрированы вместе с отцом, вам даже принимать наследство не обязательно - все пройдет автоматом

Так Ваш отец жив или нет? Если умер, то наследник может (если хочет принять наследство) написать заявление о принятии наследства нотариусу. И пусть живет дальше.
Если отец не умер, о каком наследстве может идти речь? Ваш отец может написать завещание и не на Вас, тогда Вы наследницей не будете.