Родители в разводе мама собственник квартиры а папа просто прописан, может ли она его выписать без его ведома ?

И как маме досталась эта собственность?

Сначала, предлагает сделать это добровольно. Не захочет - иск в суд. По решению суда выселят, плюс (если будет заявлено) затребуют с него судебные издержки.
Правда, могут быть и варианты - могут позволить ещё некоторое время проживать (обычно, до года). Но для этого будут нужны веские причины.

"а папа просто прописан" - папа участвовал в приватизации, но от своей доли собственности отказался? Если так, то всё кардинально меняется.

Принудительная выписка осуществляется только через суд.

Суд сам не выписывает из квартиры.
Суд может только признать человека утратившим право пользования квартирой или другим жилым помещением.
В паспортном столе можно выписать без согласия только на основании решения суда.

Нет, так как прописки нет в РФ уже боле 25 лет, а вы откуда слово это знаете?

С принятием Советом Министров СССР 8 сентября 1990 года постановления №907 "О признании утратившими силу некоторых решений Правительства СССР по вопросам прописки граждан»,
Заключениями Комитета конституционного надзора СССР от 26 октября 1990 года № 11 (2-1) и от 11 октября 1991 года № 26 (2-1) разрешительный порядок прописки был признан неконституционным, нарушающим права человека и утрачивающим силу с 1 января 1992 года.»

Без ведома не сможет. Сможет только в судебном порядке. С извещением отца об иске.

Квартира в браке приобреталась или ее это ее добрачная собственность.. или унаследованная в период брака.. или подарок бабки ?

Без ведома не сможет - только через суд.