потеряла квитанцию об оплате ком.услуг,.Имею ли я право потребовать проверки их фиксальнокасс.ленты

Вы вправе потребовать от субъекта управления многоквартирным домом (ТСЖ, ЖСК, Управляющей организации) соответствующий документ, подтверждающий факт оплаты (но, не фискально-кассовую ленту) . Кроме того, информация о Вашей задолженности по оплате ЖКУ, должна быть доведена в платежном документе на последующий платежный период (если в квитанции за следующий месяц информация о долге отсутствует, то Вы ничего не должны).

А у "них" этой ленты нет, ибо через кассовый аппарат Вы это не оплачиваете.

Не совсем так. Если, скажем, Вам приходит квитанция за март, а февраль у Вас не оплачен, в мартовской квитанции долга за февраль не будет. Будет долг за январь, если Вы его также не оплатили. Это сделано специально, чтобы люди, оплатив, не нервничали по поводу "каких-то долгов", поскольку перечисление денег на счет занимает с момента оплаты определенное время.
Для уточнения наличия или отсутствия задолжности Вам нужно обратиться в бухгалтерию, где Вам подтвердят все полученные на Ваш счет платежи. Вы можете попросить у них справку об отсутствии у Вас задолжности по квартплате и комм. платежам на сегодняшний день и приложить ее к пачке Ваших квитанций взамен утерянной, во избежании недоразумений в дальнейшем.

Их, это кого?

Вы имеете право обратиться в бухгалтерию ЖКЦ, где Вам обязаны предоставить нужную информацию. А право проверки фиксальн. ленты не имеете