ПРОПИСКА в приватизированной квартире

Раз в комменте Вы добавляете: "в приватизированной квартире. Мы купили часть комнаты, т. е. её долю и хотим в этой части прописаться. ",то
регистрируется в жилом помещении. а не на доле.
СОбственник доли в жилом помещении- может зарегиться по месту жительства в этом жилом помещении.
Своих несоверш. детей он может вселить (и зарегить) без согласия др. сособственников .
Др. членов своей семьи собственник доли может вселить только с согласия всех сособственников.
------------------
Т. е. ответить на этот ваш вопрос: " В четверти комнаты, а это 6 квадратных метров, может ли прописаться семья ( 4 человека) ?"
нельзя в четверть комнаты или на 6 м прописаться.
Можно в жилое помещение.
Если 4 человека эти (семья) имеют долю в собственности в этом жилом помещении, то все и могут вселиться и зарегиться.
Поскольку в комменте вы пишите. что собственник доли 18-летний. то только он и может вселиться, а вселение его родителей и его мл. брата возможно только с согласия всех сособственников жилого помещения.

регистрация собственника - без вопросов
его несовершеннолетний ребенок - без вопросов
для регистрации других - жены, родителей, братьев и тп нужно согласие всех сособственников

Несовершеннолетних детей по месту жительства родителей зарегистрируют, взрослых - нет.

прописки нет 150 лет....
это она имела РАЗРЕШИТЕЛЬНЫЙ характер...
а регистрация - да пожалуйста... ЕСЛИ СОБСТВЕННИК РАЗРЕШИТ....

Несовершеннолетнегопр опишут, а совершеннолетних только с согласия всех собственников!