Если собсвенник пропишется в гос. квартире ( наемной ), как по-закону оформляется его прописка?

Если регистрация в муниципальной квартире будет постоянной, то автоматически вас снимут с регистрации по прежнему месту жительства. Право собственности при этом не теряется!

Если некий собственник жилого помещения живет и зареген в жилом помещении. кот. у него на правах собственности, но вселяется в иное жилое помещение на законном основании, то в этом другом жилом он регится по месту жительства или месту пребывания.
в первом случае его снимут с регистр. учета в его квартире, во втром случае останется регистр. по месту жительства и добвится регистрация по месту пребывания (на определ. срок).
Можно и не региться в др. квартире- муниципальной по месту жительства.
С какой стати его там регить нанимателю и членам его семьи. чтобы потом не выгнать его и чтобы он в приватизации участвовал, если имеет право неиспользованное?
Хватит с него и регистрации по месту пребывания в муниципалке.
Можно вообще без регистрации жить при определенных обстоятельств и штрафа не будет
КоАП РФ, Статья 19.15.1. Проживание гражданина Российской Федерации по месту пребывания или по месту жительства в жилом помещении без регистрации
https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34661/0b88b5f0543f3a9c3d6f564db1cbf05fe6f1c98a/
------
только олух полный зарегит в муниципалку по месту жительства вселив в качестве члена семьи нанимателя. такого уже не выковырять.

Никак прописки в России не оформляется.
Институт прописки признан противоречащим Конституции РФ почти четверть века назад

на основании договора найма в ФМС

Штампом в паспорте оформляется регистрация. Если до момента как зарегистрироваться в "наёмной" квартире он был зарегистрирован в квартире, принадлежащей ему на праве собственности, то его снимут с регистрационного учета оттуда автоматически, при регистрации по новому месту жительства.