Где прописано, что после получения субсидии на улучшение жилищных условий, я должен выписаться из старой квартиры?

В правовом акте о предоставлении субсидии. Ее предоставляют с освобождением занимаемого по дог. соцнайма жилого помещения или в дополнение.
Обычно- с освобождением- всей семье или части семьи.
В соотв. с НПА.
Что будет, если вы ...смотрите НПА.
Вообще выселить могут реш. суда, признав утратившим право пользования в соотв. с таким-то НПА и прав. актом о предоставлении субсидии.
------------
А могут и отменить реш. о предоставлении субсидии и деньги в бюджет потребовать вернуть.

Вообще, разум. чел консультируется в уполном. органе, см. 29 закон ст. 31 и 32 по субсидиям. чтобы понимать, что и как делается.. чтобы не навалять....

Закон г. Москвы от 14.06.2006 N 29 (ред. от 02.07.2014) "Об обеспечении права жителей города Москвы на жилые помещения"
http://docs.cntd.ru/document/3666722
--------------
Неизвестны ваши обстоятельства.
Но непонятно зачем получать субсидию с освобождением занимаемое, при чем субсидия не по рыноч. стоимости кв. м. а по расчетной, а каждый метр освобождаемой можно по рыноч. продать.
Норм. люди приватизируют и берут субсидию в дополнение, чтобы продать занимаемую, добавить субсидию и купить квартиру больше.
Может у вас дом аварийный и нельзя приватизировать. а может вы берет на часть семьи субсидию с освобожд. занимаемого, в итоге часть семьи остается в муниципалке и их жилищ. условия улучш.. потому что их стало меньше,
а часть семьи. освободив- покупает себе в собственность другое.

п. 3 ст . 83 ЖК РФ ...договор расторгнут и по суду выпишут .

не всегда - иногда надо освобождать, иногда оставляют

Все описано в постановлении правительства региона или города.
В СПб, например, http://gov.spb.ru/helper/sod_fonda/jilie/uluchshenie-zhilishnyh-uslovij-grazhdan-lgotnyh-kategorij/predostavlenie-bezvozmezdnyh-subsidij/
Это же цель расселения.